正１２面体と正２０面体、どちらが球に近い？

太陽系モビールを作ってみたが、実物サイズの大小関係がわかるものが作れないかと考えた。
ネットや本で調べてみると、紙粘土や風船などを使って実物サイズがわかるモビールがたくさん紹介されていた。
私はこれを正多面体で作れないものかと考えた。

まず正１２面体と正２０面体をつくってみた。
私の予想では正２０面体が確実に球に近く見えるだろう、と思っていた。が上の写真のように正１２面体が結構ボール状になっている。
家族に聞いてみても、正１２面体のほうがなんとなく球に近く見えるというものだった。

そこで正１２面体と正２０面体を数学的に調べることにした。

ネットで調べていると、私と同じ疑問を持っている方がブログにアップされていた。
（正１２面体と正２０面体ではどっちが丸いか？　木製正多面体模型の活用法　中川宏）

http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/201105.pdf

https://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/1603.pd

https://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/1653.pdf

このブログによると、正１２面体の一辺を１とすると、
　外接円の半径は　1.4012
   面積比は　76,8％

正２０面体の一辺を１とすると、
　外接円の半径は　0.951
   面積比は74.6％

となり、正１２面体のほうが外接円の面積を比べると円にちかいことがわかる。
（内接円では正２０面体のほうが円に近くなる。詳しくは上記のブログを見てください。丁寧に計算されている。）

さらにこのブログでは、木製の正１２面体と正２０面体を作って、斜面での転がる状態を観察されている。結果は正１２面体のほうがよく転がっていることがわかった。
（この実験結果も上記のブログに紹介されている）

正１２面体で太陽系もビールを作る

それでは正１２面体で太陽系の惑星をつくってみよう。

まず正１２面体の外接円の直径の長さを求めよう。
これもネットに求め方の参考になるものがあった。
（正１２面体のいろいろな計算（対角線・表面積・体積・内接球・外接球）高校数学の美しい物語）

https://manabitimes.jp/math/2717

このブログによると、外接円の直径は（正１２面体の一辺を１とすると）

（√３＋√１５）／４

である。これを計算すると約2.803

仮説実験授業で太陽系モデルを作る授業があったことを思い出し、ネットで調べてみると、ピッタリのものが見つかった。
（太陽系１０億分の１模型　ホーホー村教育研究所2000.1.7 　3.11一部改定　2011.8 一部改定）

http://houhouken.web.fc2.com/solar.htm

このブログに太陽系の10億分の1のデータが詳細されている。
そのデータをここに引用すると、

惑星　　　直径

太陽　　１４０センチ
水星　　　　５ミリメートル
金星　　　１２ミリメートル
地球　　　１３ミリメートル
火星　　　　７ミリメートル
木星　　　１４センチメートル
土星　　　１２センチメートル
天王星　　　５センチメートル
海王星　　　５センチメートル

この数字なら紙で正１２面体が作れそうだ。
実際に作り始めると、正五角形の一辺を何センチにするかが問題となった。
正１２面体についての上記のブログの計算によると、

正五角形の一辺の長さをaとすると、外接円の直径r　は、

r=2,803✕ａ

という関係がある。

地球の正１２面体を作るとき、作りやすい正五角形の一辺の長さを考えると、
1.5センチが作りやすそうだ。このときの地球の直径は
　2,803✕1.5は、約4.2 センチとなる。これくらいの大きさなら見やすいだろう。

必要な正五角形の一辺の長さを計算すると、おおよそ次のようになった。

水星　　0.6センチ
金星　　1.5センチ
地球　　1.5センチ
火星　　0.9センチ
木星　　18センチ
土星　　15.2センチ
天王星　6.5センチ
海王星　6.3センチ

上のような一辺の長さを持つ正五角形をそれぞれ１２個作り、組み合わせることになる。こうしてみると木星になると一辺１８センチの五角形が１２，これは大きくなる。土星の輪の大きさはどれくらいになるのだろう。
時間がかかりそうだ。

参考になるブログをアップされた皆様に感謝申し上げます。

＊「正１２面体と正２０面体ではどっちが丸いか？　木製正多面体模型の活用法　中川宏」

＊「正１２面体のいろいろな計算（対角線・表面積・体積・内接球・外接球）高校数学の美しい物語）」

＊「太陽系１０億分の１模型　ホーホー村教育研究所2000.1.7 　3.11一部改定　2011.8 一部改定）」

さてここはどこでしょう。
小学校の屋上プールがバーベキュー会場に大変身。

ここは大阪市生野区にある元御幸森小学校の屋上プール。

御幸森小学校は児童数の減少による統廃合の流れの中で、２０２１年３月末を最後に閉校した。
中川小学校と統合し、現在は中川小学校の敷地に設置された大阪市立大池小学校となっている。

御幸森小学校のそばには今有名になっている「生野コリアンタウン」があり、校区に含んでいた。
　以前私のプログで「奈良市内散策」を書いたが、そこに書ききれなかったのが御幸森小学校の戦争被害。
御幸森小学校の子ども達は奈良市内の旅館に疎開していた。１９４５年２月に旅館が火災にあい、子どもが二人なくなっている。そのことは地域で作られている反戦平和の教材集に収められているそうだ。また１９４５年６月１５日の大阪大空襲で校舎を全焼している。戦後御幸森小学校として再建されるという歴史がある。
ウィキペディアによると「生野コリアンタウンを校区に含み、在日韓国・朝鮮人をはじめとした朝鮮半島にルーツを持つ児童が３分の２を占めていた」ということで多文化共生の取り組みで有名でもあった。２０１２年には大阪市の公立学校で初めての「ユネスコスクール」にも認定されていた。

御幸森小学校に来るには環状線の鶴橋駅か桃谷駅が近い。私は鶴橋駅ではなく桃谷駅で降りる。桃谷商店街を抜けて疎開道路に出て左折、信号でコリアンタウン側にわたって昔なじみのように思える細い道を歩くと御幸森小学校の正門に続く。遠くから見える御幸森小学校は船をイメージしてつくったという話が本当のように思える。上の写真の丸い構造物が、遠くからだと客船の大きな煙突のように見える。

　アナザームーンとかかれた壁。この壁の後ろにも１人用の座席がならんでいる。
聞いてみるとプール底には約１５０席、プールサイドの席も含めると約３００席は確保できるそうだ。

上の写真左は校舎の正門に立って左側を見たところ。この道をまっすぐに進むとコリアンタウンに続く。
真ん中と右の写真は正門の様子。真ん中にはトーテムポールのような学校備品や教材らしきもので作られた柱。こんなデザインは誰が考えるのだろうとおもわず感心する。

閉校となった御幸森小学校をどうするのかと、多くの議論があったようだ。
「御幸森小学校跡地活用共同事業体」が作られ、現在の運営がなされているそうだ。 ここには上の写真のように「子育て支援・多機能センター」「スポーツ特化スクール」「コリアNGOセンター」「図書室ふくろうの森」「喫茶室みゆきもり」「飲食大学」などなどの多機能多種類の活動拠点が作られ運営されている。

写真は豚肉コース二人前。
美味しかった。豚肉もすべてが新鮮。焼きおにぎりもある。
飲み物はここで買うこともできるが持ち込みも自由。保冷ボックスも用意してくれる。コースを予約しておけば持ち込みも自由。
これからBBQのシーズン。きっと７月から８月は大入り満員となることが予想される。コリアンタウンで買い物して御幸森の屋上プールでBBQが流行るに違いない。

書店で左のような本を見つけた。
「見て知って作って楽しむ！
宇宙・天体ペーパークラフト」
作／グループ・コロンブス　あかね書房
表紙には「月球儀」「はやぶさ２」「プラネタリウム」
「星座早見盤」「太陽系モビール」の写真があり、これらを作ることができるという。これは面白そうなので買うことにした。
まずは「太陽系モビール」を作ってみよう。
材料はとじ込みの厚紙。切り抜けるように切り込みが入れられている。

思ったより丁寧に作られたパーツで、太陽と８つの惑星の部品を切り抜くことができた。
色も塗られていて、水星はこんな色をしているのだろうか？　明けの明星と言われている金星はこんな色？と思いながら切り抜く。
木星や土星はなるほどこんな色だなあと思うが、天王星や海王星、水星や金星は実際どんな色をしているのだろう。観測機が何機も飛んでいって写真を撮っているが、肉眼ではどんな色に見えるのだろうと思う。

指示通りに作ったのがこれ。 球体にするのは難しい。
惑星の大きさはそれなりに大小の差がついているのだが、本当にこの比でいいのか？のところもある。しかし土星には輪もついているので、これが土星だとはすぐに分かる。太陽はもっと大きいのだが、ー地球の直径の１０９倍といわれているのだが、実際に１０９倍のモデルを作るのは無理なことだから、そこは我慢しなくてはならない。

たけひごが手に入ったので、それでモビールを作る。
糸とたけひごを固定するのは、本にあるように紙粘土を１００均で買ってきて固定した。紙粘土はすぐに固まらないので、微調整する時間が取れて制作しやすかった。

本には「はやぶさ２」「月球儀」の工作もついているので作成して取り付けてみた。

土星の上に取り付けられているのが「月球儀」。
これは惑星の作り方と違って、多角形を利用してつくっている。そのためたいへん角ばっている。
「はやぶさ２」も単体で飾っておくより、太陽系もビールの中にある方が存在感があっていい。

実際の惑星の直径の比（地球を１とすると）

水星・・・0.38
金星・・・0.95
地球・・・１
火星・・・0.53
木星・・・11.21
土星・・・9.45
天王星・・4.01
海王星・・3,88

（ウィキペディアより）

リアルな比で、惑星モデルを作るのはちょっとむつかしそう。
しかしこうして表を見てみると、火星は案外小さいのだなあ、天王星と海王星はこんなにおおきいのか、と新発見するとができたのは、太陽系もビールをつくったからだろう。いい勉強になった。