29 | 6月 | 2023 | 雲外蒼天

正１２面体と正２０面体、どちらが球に近い？

太陽系モビールを作ってみたが、実物サイズの大小関係がわかるものが作れないかと考えた。
ネットや本で調べてみると、紙粘土や風船などを使って実物サイズがわかるモビールがたくさん紹介されていた。
私はこれを正多面体で作れないものかと考えた。

まず正１２面体と正２０面体をつくってみた。
私の予想では正２０面体が確実に球に近く見えるだろう、と思っていた。が上の写真のように正１２面体が結構ボール状になっている。
家族に聞いてみても、正１２面体のほうがなんとなく球に近く見えるというものだった。

そこで正１２面体と正２０面体を数学的に調べることにした。

ネットで調べていると、私と同じ疑問を持っている方がブログにアップされていた。
（正１２面体と正２０面体ではどっちが丸いか？　木製正多面体模型の活用法　中川宏）

このブログによると、正１２面体の一辺を１とすると、
　外接円の半径は　1.4012
面積比は　76,8％

正２０面体の一辺を１とすると、
　外接円の半径は　0.951
面積比は74.6％

となり、正１２面体のほうが外接円の面積を比べると円にちかいことがわかる。
（内接円では正２０面体のほうが円に近くなる。詳しくは上記のブログを見てください。丁寧に計算されている。）

さらにこのブログでは、木製の正１２面体と正２０面体を作って、斜面での転がる状態を観察されている。結果は正１２面体のほうがよく転がっていることがわかった。
（この実験結果も上記のブログに紹介されている）

正１２面体で太陽系もビールを作る

それでは正１２面体で太陽系の惑星をつくってみよう。

まず正１２面体の外接円の直径の長さを求めよう。
これもネットに求め方の参考になるものがあった。
（正１２面体のいろいろな計算（対角線・表面積・体積・内接球・外接球）高校数学の美しい物語）

このブログによると、外接円の直径は（正１２面体の一辺を１とすると）

（√３＋√１５）／４

である。これを計算すると約2.803

仮説実験授業で太陽系モデルを作る授業があったことを思い出し、ネットで調べてみると、ピッタリのものが見つかった。
（太陽系１０億分の１模型　ホーホー村教育研究所2000.1.7 　3.11一部改定　2011.8 一部改定）

このブログに太陽系の10億分の1のデータが詳細されている。
そのデータをここに引用すると、

惑星　　　直径

太陽　　１４０センチ
水星　　　　５ミリメートル
金星　　　１２ミリメートル
地球　　　１３ミリメートル
火星　　　　７ミリメートル
木星　　　１４センチメートル
土星　　　１２センチメートル
天王星　　　５センチメートル
海王星　　　５センチメートル

この数字なら紙で正１２面体が作れそうだ。
実際に作り始めると、正五角形の一辺を何センチにするかが問題となった。
正１２面体についての上記のブログの計算によると、

正五角形の一辺の長さをaとすると、外接円の直径r　は、

r=2,803✕ａ

という関係がある。

地球の正１２面体を作るとき、作りやすい正五角形の一辺の長さを考えると、
1.5センチが作りやすそうだ。このときの地球の直径は
　2,803✕1.5は、約4.2 センチとなる。これくらいの大きさなら見やすいだろう。

必要な正五角形の一辺の長さを計算すると、おおよそ次のようになった。

水星　　0.6センチ
金星　　1.5センチ
地球　　1.5センチ
火星　　0.9センチ
木星　　18センチ
土星　　15.2センチ
天王星　6.5センチ
海王星　6.3センチ

上のような一辺の長さを持つ正五角形をそれぞれ１２個作り、組み合わせることになる。こうしてみると木星になると一辺１８センチの五角形が１２，これは大きくなる。土星の輪の大きさはどれくらいになるのだろう。
時間がかかりそうだ。

参考になるブログをアップされた皆様に感謝申し上げます。

＊「正１２面体と正２０面体ではどっちが丸いか？　木製正多面体模型の活用法　中川宏」

＊「正１２面体のいろいろな計算（対角線・表面積・体積・内接球・外接球）高校数学の美しい物語）」

＊「太陽系１０億分の１模型　ホーホー村教育研究所2000.1.7 　3.11一部改定　2011.8 一部改定）」

雲外蒼天