円周率 関孝和の計算

3月14日は円周率の日

ホワイトデーとも言われているが、円周率の日だと言うことももおぼえておこう。

このブログで以前に村松茂清の計算方法を紹介した。 それは円に内接する多角形を考え、三平方の定理(和算では勾股弦の定理)を使って正多角形の周の長さを計算することによって、円周率に接近していく方法だった。
下に簡単に考え方と表計算ソフトによる結果を再掲しておく。

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 関孝和の方法 3.14159265359微弱

関孝和の計算を調べてみた。 ネットには多くの記事がアップされている。それらを読んだり、本で調べてみて私が理解できた範囲で紹介してみる。

ウィキペディアによると、

「暦の作成にあたって円周率近似値が必要になったため、1681年頃に正131072角形を使って小数第11位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159265359微弱だったが、エイトケンのΔ2乗加速法を用いた途中計算では小数点以下第16位まで正確に求めている」とある。

関孝和も村松茂清と同じように計算をしている。ウィキペディアにあるように、正131072(2の17乗)角形を使っている。なんと小数点以下19桁までの数値がだされている。
(Excelなどの表計算ソフトは12桁以上の数字を表記することはできないので,記号として入力して表にしたものが下の表である。)
(表をクリックすると拡大像になる)

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(表にある強、弱について。 四捨五入により切り捨てた場合が強。切り上げた場合が弱。とくに末位が0を切り捨てた場合は微強。末位が9を切り上げた場合は微弱である。) 

  関孝和はこの円周の長さの変化に着目したようだ。

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さて、このような式はどうして導かれたのだろうか。

関孝和の素晴らしいと言われているのは、円周率を求める一般式を考え出そうとしたところだと思う。

村松茂清のような方法は、円周率を力づくで何桁でも計算できるだろう。しかし、この方法はあくまでも近似値を求めているのであって、最終的に円周率はどうなるの?という疑問には答えていない。

わたしの分かる範囲で説明を試みてみる。

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ここまでの説明は、関孝和は等比級数を使って円周率の計算をしたのだろうという推測のもとで、なされている。 本当に等比級数を使ったのかどうか?それは確証がないそうだ。 それ以外の方法で式を導いたという説もある。

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関孝和が実際には等比級数の考え方を使ったの、あるいは差分に注目して計算式を導き出したのか?それはわからない。

江戸時代の和算の本の多くは、結果のみが記されていて、その考え方や計算方法がのせられていないそうだ。
この式も弟子の建部賢弘や後世の数学者たちが研究し、資料として記されているので私たちが学ぶことができるのである。

いずれの方法にしても、関孝和の時代にこれほど精密に円周率を求めたものはいないと言われている。数字の向こうにある世界を探求しようとした熱意に敬服するしかない。
(2015年3月14日 円周率の日に記す)

 

 

円周率その4

江戸時代には、二つあった円周率

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江戸時代には円周率が二つあった、という記事をどこかで読んだ記憶があった。どこかにくわしい説明がないだろうか、とさがして見つけた本がこの「数量的な見方考え方(板倉聖宣著 仮説社)だ。

この本にそって自分のためにまとめておこう。

 江戸時代後半では、数学者たちは円周率を3.14と知っていたが、寺子屋に通っていた百姓や町人の子どもたちは3.16と習っていた。それはどうしてだろう?

さて、日本で最初に出版された数学書は、1615年頃に印刷された「算用記(さんようき)」で、そこに円周率についての表記がある。

「直径が1尺なら、その円周の長さは3尺1寸6分あり」と。
つまり、円周率を3.16としていたことがわかる。

1627年に有名な吉田光由(みつよし)による「塵劫記(じんこうき)」が出る。ここでも円周率を3.16としている。塵劫記は江戸時代のベストセラーとなり、この後に出版された算数や数学の本はみな3.16という円周率を受け継いだ。

算用記

塵劫記

(ウィキペディアより)

3.16の根拠は?

はてさて江戸時代の円周率の3.16の根拠はなんなんだろう。
普通は中国から伝わった数学書からの引用だろうと考えるが、実は中国から伝わった数学書には円周率は3.16と書いた本はなかった。
考えられるのは、江戸時代にだれかが実際に計算したことが予想される。円を書き、糸を使うなどをして円周の長さを測り、直径との関係を求める。誤差が出るが、3.14〜3.16程度の値になる。
「円周率のような数は、半端な数の並び方ではなく、何か美しい数になるにちがいない」と考えるのが世の習い。
ここで「3.16は10の平方根に近い」と考えたのだろうと、「数量的な見方考え方」では推論している。
(古代インドではルート10を円周率に使ったという)
ちなみに、江戸時代ではそろばんで平方根や立方根を求めることができていた。
こんなふうにして、数学好きな人たちの中に「円周率は3.16」ということを信じるようになっていった。(√10=3.16277 ひとまるはみいろにならぶ と習ったなあ)

実際に計算で求めた村松重清

円周の長さを数学的に詳しく計算したのが、4月14日のブログで紹介した村松重清である。彼は円周の長さをものさしを使って計ったのではなく、日本ではじめて数学的な計算で求めたのである。

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直径1mの円の内側にぴったり入る正六角形を描くと六つの辺の長さは3mになる。
円周の長さは3mより長いのは明らかだ。次に正12角形をつくり、その辺の長さを計算すると3.1058285・・となる。このことを繰り返していく。 詳しい計算の方法は4月14日のブログを見ていただくことにして、1663年に彼は正3万2768角形の辺の長さを求めた。

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これはあくまでも多角形の辺の長さだから、円周率ではない。
しかし彼は「円周率は3.16ではなく、3.14だ」と主張することができた。

広がる3.14

村松重清の発表以降、
翌年の1664年、野沢定信が、村松重清と違う計算方法で計算し、円周率を3.14とした。
このあと多くの人が計算をし、円周率を3.1416とか3.1428など少しずつ違う円周率の数字が発表され、「円周率は3.16ではなく、3.14にはじまる数字だ」と、数学愛好者のあいだで広まっていった。
当時もっとも普及していた算数・数学の本、「新編塵劫記」、「改算記」、「算法闕疑抄(さんぽうけつぎしょう)」も、1684年から87年のあいだに「円周率は3.14・・としたほうがいい」という改訂版を出していった。
ただ改訂版といっても、版を一から作り直すのではなく、「注」として3.16が載っているページの余白などに書き加えたのものだった。
1687年頃には「日本の算数・数学の本はほとんど『正しい円周率の値は3.14だ』」という考えで統一されていったといってよい。

3.14を疑う人たち

ところが、社会的に影響力のある人たちの中で、「円周率は3.14」に疑いを目を向ける人たちがいた。
まず野沢定信。この人は村松重清が計算した翌年に、円周率は3.14と計算して発表していたが、「円周率はルート10」という考え方が気に入っていたので、
「円周率には、『理屈によって得られる平方根10』と『図形をもとにして計算して得られる数』との二種類がり、真理はその二つの数の間にある」と言い出した。

次に荻生徂徠(1666〜1728)。彼は「円の内側にかいた正多角形をどんどん増やしていったら、その多角形の辺の長さや面積は果てしなく増えていくのではないか」と数学者たちの計算の結果を疑った。

三人目が漢方医学者の橘南谿(たちばななんけい 1754〜1806)。彼は「円周率の値は、3.16 あるいは3.14 といろいろに論じているが、まだ疑問の点がたくさんある」といった。

分裂した円周率

その結果どうなったのだろう。 影響力のある人が3.14に異議を唱えると、これまで3.14としていた本が3.16ともどすようになってきた。 そろばんの本で影響力のあった「塵劫記」と「改算記」が改訂の時に、「注」にあった「3.14が正しい」という文言を、省くようになったのである。そろばん入門の本の出版者達の中にも、「円周率3.14を疑っている知識人がいる」と知った人がいて、わざと円周率は√10(3.16)を残したようだ。

「数量的な見方考え方」の本の調査によると、江戸時代後半(1818〜30年)の算数・数学書で、「著者も明瞭で200ページ以上もある数学書は全部が円周率は3.1416あるいは3.14159」と表記されていた。しかし「著者名も記されず30〜100ページのそろばんの本のほとんどが円周率を3.16」としていることがわかった。

結果的に、数学者や数学愛好者の間では円周率は3.14とわかっていたが、百姓や町人の子どもたちは寺子屋やそろばん入門の本で円周率は3.16と習うようになったのである。

すべての人に納得させるという考え方がなかった江戸時代。

江戸時代の数学者には、円周率は3.14ということに疑問を持つ人を納得させる方法を考えつかなかったのだろうか。
たとえば、私のブログの「円周率その1」(3月14日)で取り上げた中国の劉徽は、円に内接する多角形と外接する多角形とを考えて、多角形の周の長さを円の両側から挟んで円周率を求める方法を使った。 

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日本ではこのように考えた人はいなかったのだろうか。
いや、一人いた。
蒲田俊清(1678〜1747)という人が「宅間流円理(たくまりゅうえんり)」という本で、円周に内側と外側から接する正多角形を考えて、円周率の上限と下限を決めていた。
残念なことにこの本は手書きで写されていて印刷されていなかったため、研究を受け継ぐ人がいなかった。

1712年に関孝和(11桁)、1722年に建部賢弘(41桁)と、精密に円周率の計算をしたが、不思議なことに円に内接する多角形のみの計算方法で、内側と外側からせまる方法は蒲田俊清以外だれもとっていない。計算方法がわからなかったはずはなく、ただそういった考え方をしなかったと思われる。

江戸時代の和算は、中国の水準を超えるまで発展したが、古代ギリシャ以来の数学の伝統である「他分野の学者たちをも完全に納得させるには、どういう議論をしたらいいのか」ということはせず、「だれでも納得するような理屈・論理」「すべての人々を納得させずにはおかない研究法」が確立していなかったのだ、と『数量的な見方考え方」では説明されている。

分裂した円周率は、明治維新後の学制発布による学校教育によって、すべての人々が正しく3.14と学習するようになった。

*この「数量的な見方考え方」には、調べた和算の本などの詳しいデータがのせられているが、この記事では省略し結果のみを記した。

 

 

 

 

円周率 その3

「算俎」村松重清の方法

今回は、江戸時代の和算家の方法を追跡してみよう。 「円周率が歩んだ道」(岩波現代全書 上野健爾著)によると、「円周率の計算を記した初期の書物としては、村松重清著『算俎』(さんそ)である。村松重清の婿養子であった村松秀直は赤穂浪士四十七士の一人である。村松は『算俎』のなかで円に内接する正多角形の周の長さを計算して円周率の近似値を求めた。彼は直径一尺の円に内接する正8角形から始めて正32768(2の15乗)角形の周の長さを計算して3尺1寸4分1592648776..を得た。これは小数点以下7桁まで正確な値をあたえている..」とある。

この方法を追試してみよう。

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まず江戸時代の三平方の定理は鉤股弦(こうこげん)の法(勾股弦とも書く)とよばれていた。

直径1(単位は省略)の円に内接する多角形、ということなので四角形からスタートする。まず準備段階として、弦と勾の関係を調べておく。

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さらに分割してみる。

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4角形の場合

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8角形の場合

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16角形の場合

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32角形の場合

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ここまでくると、この弦と勾の関係はこのまま思考実験で継続しても大丈夫。
村松重清が計算した正32768角形までを一覧表にしてみたのが次の図。

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表計算ソフトで計算してみよう。

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関数を使った計算は表計算ソフトの得意とする所。前回はエクセルを使ったが、今回は無料ソフトのLibreOfficeを使った。
計算した結果がこれ。

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直径を1としているので、円周の長さが円周率となる。
村松重清は正32768角形の辺の長さで円周の近似値を計算し、それが円周率と等しい、という考えをここまで実行した。
村松重清の計算は、3尺1寸4分1592648776..で、表計算ソフトよりも多くの桁数まで求めている。
その集中力と計算の確かさに驚く。
そろばんによって計算したと思うが、どれほどの時間がかかったのだろう。
私たちは円周率の値を知っているから、計算間違いに気づくことはできるが、正解がわからないなかでここまで正確に計算されていることに驚くばかりだ。

 

 

 

円周率その1

今日は何の日?

テレビでは「ホワイトデー」と騒がれているが、今日は「円周率の日」。
なぜかというと、3月14日、
3.14は円周率だから。

円周率の歴史をネットで調べてみると、紀元前2000年頃の資料にも円周率のことがのっているらしい。
古代エジプト(紀元前1650年頃)では、円周と直径の比の値と、円の面積と半径の平方の比の値が等しいことは知られていたという。中国でも同様で、日本に関係の深い中国での研究がのっていた。

円周率a

西暦263年といえば、卑弥呼が魏に使いを送ったのが西暦239年だからまだ大和朝廷が成立していなかった頃。この時代にどのような計算をして円周率を求めたのだろうか?

円周率については、書籍にもネットにもたくさんの研究結果や資料がある。少し長くなるが私が理解できる範囲でそれらを紹介しよう。

劉徽(りゅうき)の方法

(以下の図や計算の部分はクリックすると、拡大して見ることが出来ます)

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はじめに円に内接する多角形を考える。最初の図は6角形、次の図は角が倍の12角形,三つ目の図はさらにその倍の角がある24角形。
それぞれ多角形の周りの長さー周の長さと円の面積は、多角形の角数が増えていけばいくほど、接している円の周の長さ(円周)、面積に近づいていくことが予測できる。
円周と円の面積を直接求めることが出来ないが、多角形の周りの長さと面積は求めることができるので、内接する多角形の角数を増やすことにより、内側から円周と円の面積、そして円周率を出そうとするやり方。

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IMG_20140311_0006次は、円に外接する6角形、12角形、
24角形を考える。

今度は外接する多角形の周りの長さ、面積を求めていくことによって、外接する多角形の角数を増やせば増やすほど円周、円の面積に近づいていくことが予想されるだろう。
つまり、円に内接する多角形、外接する多角形を用いることによって、円周と円の面積を求めることができる。円の内側と外側から攻めていって、挟みこむことによって円周率が正確に計算できると考えたわけである。私が理解できた順番にその考え方を書いてみよう。

IMG_20140312_0001まず円に内接する正六角形を考えよう。そしてそこから角数を増やしていこう。
ABは六角形の一辺。D1は弧ABの中点。弦AD1,弦D1Bは内接する正十二角形の辺になることはわかるだろう。
点D1で接線を引き、AとBより弦ABに垂線を引き、交点をA’とB’とする。
このようにして内接する多角形の各辺上に長方形を描いていく。この長方形が外接する多角形を意味している。

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図は、正六角形から正十二角形に増やしたところ。
内接する正十二角形の面積(左の図の黄緑の三角形十二個分)から内接する正六角形の面積(上の図の水色の三角形六個分)を引いた面積は、正六角形で考えた長方形AA’B’Bの面積の総和の2分の1になることが、図からわかる。逆に言えば、六個の長方形の面積の総和は、正十二角形の面積と正六角形の面積の差の二倍になっている、ともいえる。
正六角形、正十二角形と考えたことは、正n角形と一般化しても同じことが言える。
「n個の長方形の面積の総和は、内接する正2n角形の面積と内接する正n角形の面積の差の2倍と等しい」
円の面積をS、内接する正n角形の面積An、外側のn個の長方形の面積Bnには次のような関係が成り立つ。
An < S < An + Bn
nを大きくしていく(多角形の角数を増やしていく)と、不等式の右と左のどちらも円の面積に近づいていく。
このことを利用して円の面積をだし、円周率を導く方法を劉徽は考えだした。

現代風の数式を使ってまとめてみると。

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劉徽の計算を追試してみよう。

 

まず正六角形から考える

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 つづいて正12角形を考える

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さらに正24角形を考える。図は小さくなるので思考実験で。

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次は正48角形の面積を考える

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正96角形の1辺の長さを求める

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正96角形の面積を求めて円周率へ

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はいできました。

ネツトのWikipediaにあった円周率がでましたね。
私は電卓を使って計算したが、2000年前の中国では何を使って計算したのだろう。
自乗の計算、平方根の計算、10桁以上の計算をどのようにして求めたのだろう。
計算にかける集中力、持続力に驚くとともに、先を見通した先見性に一番驚いた。

計算の所に詳しく書くのを忘れたが、「三平方の定理」は劉徽の時代にはすでに知られていた。
次回はもう少し現代風な計算を紹介したい。

 

 

 

円周率が歩んだ道

円周率が歩んだ道 小説「天地明察」を読み、映画も見た頃から、和算による円周率の計算に興味があり、何冊か本を読んできた。一番最近の本が岩波現代全書の「円周率が歩んだ道」(上野健爾著)。
この本はヨーロッパだけでなく中国やモンゴルでの円周率計算の歴史にも触れ、もちろん日本の和算の成果もきっちり書いてある。また、私の理解力ではまだまだついていけない16進数による円周率の計算の有効性から新しい数学への展望や、付録には「円周率が無理数であること」「円周率が超越数であること」の証明までのっている興味深い本。
私は和算による円周率の計算に興味があるので、そこの部分を実際にペンで計算しながら勉強のつもりで読んでいった。本と自分の計算とあわないところが出てきてまる一日ほど悩んだところがあった。それはこのページの最後の式。

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少し円周率の歴史を振り返ってみよう。江戸時代も円周は直径のほぼ3.14倍ということは知られていた。それを精密に計算しようと江戸時代の和算家は努力した。

和算の矢

江戸時代の和算家が円周率の計算で利用した矢(し)について説明すると、弦と弧については現在の学校で習うものと同じ。
弧ADBを弓、ACBを弦(つる、ゲン)と見立てると、CDは弓の矢に見えてくる。それでCDを矢(し)と呼んだ。
和算家の建部賢弘は、弧ADBの長さを直径dと矢CDの長さを使って表すことを考えた。円弧の長さがわかれば円周がわかる。つまり「直径と円周の関係をあらわす式を見つけることができる」というふうに考えた。

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その結果が上にある式(7.8) である。

ここで弧度法(ラディアン)を使い、三角関数の式に変形する。
弧ADBの長さをs 、角AOD=θ 、矢CD=c 、直径=d とすると下のように変形できる。
*この時の計算がp147の最後の式。ここに問題があるがそれは後で。

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実はこの式はオイラーが1737年に発見した式だが、建部賢弘が1722年に著した本「綴術算経」に書かれており、このことにより建部はオイラーより早くにこの式を発見したと言われている。
ところで江戸時代に三角関数は使われていたのかという疑問が出る。なんと我が国での最初の三角関数表は建部賢弘の『算暦雑考』に記載されている。

ここでこの式を円周率を求める式に変形する。
このようにして円周率πをもとめる公式が導き出された。これが江戸時代の建部賢弘の考え方である。

この公式を求める途中の式の変形で、本文p149の最後の式がある。
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私はここでつまづいた。

半径=1/2*d
AD=1/2*s

だから弧度法を使うと

1/2*s=1/2*d*θ → s=d*θ
ここまではわかる。
次の式がおかしい。c=d – d*cosθ ではなく、

c=1/2*d – 1/2*d*cosθ

でなければならないはず。dは直径なのだから半径にするために1/2を掛ける必要がある。

c=1/2*d – 1/2*d*cosθ
c=1/2*d*(1 – cosθ)
*三角関数の半角・倍角の公式 cos2θ = 1 – 2sinθ*sinθ を使い、
1 – cosθ = 2sin(θ/2)*sin(θ/2) これを代入すると

c=1/2*d*(1 – cosθ) = 1/2*d*2sin(θ/2)*sin(θ/2)
c=d*sin(θ/2)*sin(θ/2)

となるはず。本のように
c=2d*sin(θ/2)*sin(θ/2) とはならない。
この式をもとに計算してもこの本の次ページの式にならない。
どうしてだろうと悩んだ挙句、係数2が不必要、これは誤植だと思い、岩波書店にメールを送った。

岩波3

メールを送ってなんと6時間後に返事が来たのにはびっくりした。

岩波4

さすが岩波書店。すばやい対応に感心するばかり。

今回のブログは、私が誤植を見つけた、というだけの内容になってしまったが、この「円周率が歩んだ道」であらためて和算のおもしろさに気づいた。
いつか和算による円周率の計算について勉強したことをこのブログに書いてみたいと思うが、先人の成果を自分のものにするのにはまだまだ時間がかかりそう。

今回は、岩波書店の素早い対応と、江戸時代の建部賢弘などの和算家の素晴らしさに感動したの巻でした。