江戸時代の三角関数を使った測量1

これは江戸時代の「測量集成」という本に書かれた問題。1856年に福田理軒によって書かれた本。山の高さと甲から山までの距離を求める問題である。

上の写真の右側に条件が書かれている。

「量法に曰(いわく)甲所(こうのところ)において山の絶頂を見て高度八十度有。
是(これ)より標的へ真直に進むと三拾間にして再び山の絶頂を見込むと其(その)高度八十四度なり。

「測量集成」の図はイメージしやすく書かれているが、実際は左の作図のようになる。

甲の地点から山の頂上(丙)を見て、その高度を測ると80度であった。
そこから30間山の方に進んで再び山頂の高度を測ると84度だった。
山の高さと甲から山の芯までの距離を求めなさい。
という内容である。

角(丙甲芯)が80度
角(丙乙芯)が84度

甲乙の距離は30間

わかっている値は上のような数字。

これを現代の数式に変えて計算してみよう。

上の図は縦長なので、考えるために左の図のように考えやすい形にしてみる。
三角形OAEにおいて、高さAEと下辺AOを求める問題と読み替えることができる。
わかっているのは角AOE=80
角ACE=84
CO=30

角AOE=α
角ACE=β とおく。

これを現在高校で学習している三角関数を使って考える。
左の式のように
tanα、tanβを使うと、高さEAは
α、β、OC(=30)  を使って表すことができる。

現代なら三角関数表があり、tan80
tan84 はすぐに求めることができる。
パソコンやスマホの計算機で素早く回答が出せそうだ。

では江戸時代はどのように計算していたのだろう。
ここで活躍するのが「八線表」。
伊能忠敬も測量のたびにこの八線表を使って計算していたのだろうと想像される。
八線とは次の図を見ると、現在の三角関数と関係して理解できる。

八線表というのは、
中国から流入した江戸時代版の三角関数表のことである。いずれもう少し詳しく紹介してみたい。
八線とは上の図のように、正弦(sinθ)、余弦(cosθ)、正切(tanθ)、余切、正割、余割、正矢、余矢のことで、半径が1のときに対応する角で実際にできる線分の長さを記している。

「測量集成」には次のように解法が書かれている。

八線表を用いて其直立を求むるには切線表を検し、甲所の高度八十度の余接を査し
01763270を得る。・・・・
又乙の処の高度八十四度の余接を査し01051042を得る。
甲余接01763270の内、乙余接01051042を減し残り
00712228をもって進む間数三拾間を除き、
山直立421間2134を得る。
又これに甲余接01763270を乗じ甲所より山の芯までの遠程74間2713を得る。

現代語に訳すると、

「八線表を用いてその山の高さを求めるには、切線表を調べて、甲の高度80度の余切を見て01763270を得る。・・・
また乙のところの高度84度の余切を見ると、01051042を得る。甲の余切の値01763270から01051042を引き、さらにその差の0071222で進んだ距離の30間を割れば、山の高さ421間2134を得る。
またこれに余切01763270を掛けて甲から山の中心までの距離74間2713を得る。」

ここで出てきている余切とは、現代の三角関数でいう 1/tanθ のこと。
「甲の余切の値から乙の余切の値を引き、その差で30間を割る」というのは
上の手書きの計算式の最後の部分、EAを求める計算式と全く同じであることがわかる。
甲から山の中心までの距離OAは、
tan80 = EA / OA だから
OA = EA / tan80 = EA x 1/tan80
これは山の高さに80度の余切を掛けることであるから、これも江戸時代の解法とおなじあることがわかる。

この解法にある余切の値は
https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1089335

にある「測量集成、4−国立国会図書館デジタルコレクション」にある。

私の持っているiPhoneのアプリで三角関数の値を求めてみると、
1/tan80 = 0.176326980708466
1/tan84 = 0.105104235265676
小数点以下8桁を四捨五入した値で、ピタリだ。

江戸時代の測量で、三角関数が使われていたことがこれでよく分かる。
もう少し江戸時代の三角関数について勉強してみよう。
今回の資料は「測量集成」〜和讃から西洋数学へ!〜」

https://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/Forall/project/history/2003/sokuryo_syusei/sokuryoushusei_index.htm

による。たいへん参考になり勉強に役立つホームページだ。
高校の三角関数の勉強のとき、こんなことを知っていたらもっと勉強していたのにと思わされる。

*八線表の図で「正接」と手書きで書いているが、「測量集成」では「正切」と書かれている。今の高校の数学では「正接」と教えられていると思う。
調べてみると、中国では「正切」と「切」をあてていたが、日本に輸入されたときに「正接」と訳したそうだ。数学で使う文字の歴史も面白いものだと思う。