誕生日が同じ人

沢山の人数がおさめられている名簿を整理していると気がつくことがある。
「あれ、この人とこの人、同じ誕生日だなあ。」
それが思った以上にあったりして、珍しいことのもあるもんだなあ、と思っていた。
しかし調べ見ると、結構な確率であるんことがわかった。
参考になったのが次の二冊の本。

「直感を裏切る数学」（ブルーバックス　神永正博著）
「社会にも法則はあるか」（仮設社　長岡清　板倉聖宣）

一つ目は以前に紹介した「直感を裏切る数学」（ブルーバックス）。ここには「恐怖の誕生日」という章で紹介されている。

もう一つ目は仮説社の「社会にも法則はあるか」という本で、サブタイトルが「誕生日をめぐる法則」とある。
この二冊を読んで、私が理解したことをここに紹介してみよう。

では仮説実験授業風に選択肢のある問題をどうぞ。

さて、ア、イ、ウのどれを選択しようか。アかイかな？と思うが、、、。

確率という言葉が出てくると、何かややこしそうな気がして、考えるのが嫌になってきそう。どんなふうに考えればいいのだろう。どちらの本も丁寧に解説されているが、考え方の結論だけを書いてみると、

準備運動、まず３人の誕生月で考えてみよう。

Aさん、Bさん、Cさんという三人がいる場合を考える。
Aさんがとれる誕生月は１月から１２月の１２通り。
①Aさんが１月生まれだったらBさんは２月から１２月の１１通り。
②Aさんが２月生まれだったらBさんは１月、３月〜１２月の１１通り、
③Aさんが３月生まれだったらBさんは、１月、２月、４月〜１２月の１１通り。
・・・・・
⑫Aさんが１２月生まれだったらBさんは、１月〜１１月の１１通り。
つまり、Aさんが12通りの誕生月それぞれにBさんは11通りの誕生月になる。

ここにCさんを考えると、
①Aさんが1月生まれで、Bさんが2月生まれだとCさんは3月〜12月の10通り。
②Aさんが1月生まれで、Bさんが3月生まれだとCさんは2月、4月〜12月の１０通り。
③Aさんが1月生まれで、Bさんが４月生まれだとCさんは2月3月、5月〜12月の10通り
・・・・
⑫Aさんが1月生まれで、Bさんが12月生まれだとCさんは2月〜11月の10通り。
つまりAさんが1月と固定した時、Bさんは2月から11月の11通りが選択でき、CさんはBさんが11通りとるその月ごとに10通り選択できることになる。
全部の場合を考えると、Aさんが1月から12月までの12通りを選択するわけだから、AさんBさんCさんが取る場合の数は、

１２✕１１✕１０

となる。

図で表すと、

さて、今考えたのは、AさんBさんCさんの誕生月が違っている場合の数。
次にAさん、Bさん、Cさん３人の誕生日が同じであろうと違っていようと関係なく、全ての場合の数を考えると、

Aさんは１２通り、
BさんはAさんに関係なく
１２通り、
CさんもAさんやBさんに関係なく１２通りとなる。
従って全ての誕生月の場合の数は、
１２✕１２✕１２
となる。

さて問題は「同じ誕生月の場合の数」。これは先に結論を書いたが、

「全ての場合の数−３人の誕生月が違う場合の数」
すなわち、

１２✕１２✕１２−１２✕１１✕１０＝１７２８−１３２０＝４０８

そして確率の計算は全体の数で割ればいいから、

４０８÷１７２８✕１００＝２３．６１（％）

３人の場合、同じ誕生月である確率は約２４％（四捨五入して）となる。

では３５人の誕生日で考えてみよう

３５人の全ての誕生日が同じ場合でない、数を数えてみよう。

上の場合から考えて、今度は誕生日だからスタートは３６５通りからはじまることが分かる。そして１つずつ場合の数が減っていき、全体で３５通り減っていくので、

３６５✕３６４✕３６３✕・・・・✕（３６５−３３）✕（３６５−３４）

となる。

一方、３５人の誕生日の場合の数は３６５を３５回掛け算した数になる。すなわち、

同じ誕生日の人がいる場合の数は、全体の数から誕生日が同じでない数を引けばいいので、

そして、35人の中で、同じ誕生日の人がいる確率は、 全体の数で割ればよい。

365✕364✕363✕・・・✕２✕１という形、つまり階乗（！が階乗を表すと高校の数学で習ったと思う）の形式で整理すると、

これで形がスッキリとした。 先に求めた確率の式にこの式を代入すると、

となる。 もう少し形を綺麗にすると、

ここまで計算式を求めると、後は計算するだけだが、階乗の計算値が半端な数ではない。

実際どういう結果なるのかは、次回に説明したい。
今日はここまで、ご苦労さまでした。

ここは環状線・地下鉄「玉造」が最寄りの駅になるビリヤードとダーツのお店「セクションエイト」。
私は初めてといっていいぐらい、ダーツもビリヤードもしたことがない。やったことはあるが遥か遠い昔の記憶。
このセクションエイトのオーナーの夫人が、仕事仲間だったということで、その仲間たちと訪れた。道路に面している二面がガラス張りという、大変開放感のあるお店。
土曜日の午後に訪れたが、中高年の人たちがビリヤードを楽しみ、若者のグループがダーツに興じていた。
さて、せっかくダーツをするのだからちょっと勉強になることを、と思っていたら前回紹介した本、「直感を裏切る数学」にダーツの事が書いてあった。本を元に勉強したことを紹介してみよう。

ダーツといえば上の写真や下の絵のようにダーツボードに刺さった矢の位置で得点が決まる。

ダーツボードに当たった点だけを考えることにする。線の上でも当たったと考える。
そこでダーツが中心からどの方向に外れたかを見ることにする。

左の図のように、中心とダーツが当たった場所を通る直線を引いて、図のような垂直線に交わる横軸までの距離（高さ）をｘとして記録していく。
このとき、ｘの値がマイナス無限大からプラス無限大までにする、というのがポイントになる。
１００回のシュミレーションの結果をヒストグラムにしたものが次の図。

ヒストグラムというのは、この場合では、横軸にｘの範囲を２０ずつまとめた区切りを入れ、縦軸にその範囲におさまった回数をとったグラフのこと。

このグラフを見てみると、ｘが０の近くに来ることが多いように見える。
ただ１６０付近に極端に離れた場所にグラフの山があることに注意しておこう。

実は本当の分布については、理論的にわかっていて、左のようなグラフになる。左右対称で、０の近くに大きな山ができている。
統計でよくみる正規分布によく似ているが違う。
この分布は、発見者の名前をとって「コーシー分布」と呼ばれているもの。
「すそ野」が高さの違いに着目しておこう。

正規分布なら平均は０、となるが、実はコーシー分布には「平均が存在しない」のである。
ダーツを投げる実験をさらに続けることにする。

１０００回投げる場合をシュミレーションしてみると、
０に近づくような動きも見られるが、ときどきドーンと下がるような動きがあって、０から大きくはずれる場合が観測される。
私もダーツを投げると、ときどき思いもかけずに投げ損じて、ダーツボードから外れてしまったことが何回かあった。これである、この動きが平均０を大きく引き下げていると考えられる。

サイコロを何千回なげると、それは平均してみると同じ数字がでる確率が六分の一、という場合と全く違った事象なのである。
極端に０から外れた値が出るのが、「それほど稀ではない」というのがコーシー分布の特徴と言われている。
「標本平均は、標本の大きさが大きくなればなるほど真の平均に近づいてくる」という大数の法則があるが、ダーツの場合は成り立たないのである。
大数の法則が成り立つには、大きな前提がある。それは「真の平均が存在する」という前提があってのことである。ところがダーツの分布にはこの前提がないのである。

コーシー分布の典型的な例としてあげられるのが「ガラスの破片」である。

「岩石に衝撃を与えて粉砕するとその破片の大きさの分布はべき級数になることが知られています（注　コーシー分布もべき級数である）。ガラスのコップを固い床に落として割った時にできる破片も同じです。大きな破片はほんの数個で、中くらいの破片はかなりの数になり、小さな破片は無数にあります。眼に見えないような小さな破片の数はさらに多くて、顕微鏡で拡大してみても同じような分布が観察されます。顕微鏡でも見えないくらいのホコリのような破片の数が最も多いので、１つずつの破片の大きさの平均値を求めると、事実上ゼロになってしまうのです。破片の大きさの標準偏差を計算すると、今度は少数の大きな破片の寄与が無視できなくなり、非常に大きな値になります。何桁も大きさの違う破片が混在しているから、ゆらぎの幅を表す標準偏差が大きな値になるのは当然といえるでしょう（「経済物理学の発見」より）。」

ときどき出現する極端な例が、標本平均を大きく変えてしまうのがコーシー分布の特徴なのだ。
地震の発生も平均で計算することはできない、経済の株価の動きも平均によって予測することができない。この世の中の実際の世界は、標準偏差で平均値が求められるような世界ではなくて、コーシー分布で表されるダーツの世界がこの世の中を表しているのかもしれない。

明るくて健康的なビリヤードとダーツのお店「セクションエイト」のオーナーと、若くて美人のオーナー夫人の親切な指導で、ビリヤードとダーツの腕が上がりそうな予感。でもこの予感もコーシー分布かもしれないなあ。