分数の計算④

私たちの分数感覚 → 1/2 は 0.5 か?

私たちの「分数に対する感覚」を気づかせてくれるのがこの本。

左の「数量的な見方考え方」の著者板倉さんは次のように書いている。

****************

「・・・私たちは、学校で教わる算数とは別に、<現実の事物の数量的な問題をうまく取り上げるいろんな知恵>を身につけていることにも注意しなくてはいけないのではないだろうか」

「私たちは日常的によく『半分』という言葉を口にする。それなら、この『半分』というのは 『1/2 のことであるから、0.5 のことだ』と言っていいのかというと、そうではないだろう。
 もともと、現実の事物を数量的にとらえるときには、誤差がつきものであり、近似的にならざるを得ないことが多いものだが、 1/2 と 0.5 では誤差の幅がかなり変わってくるからである。
実際の場面で 1/2 といったとき、(場合にもよるが)それは『1とも0とも言い難い、その中間ぐらいというほかない』とか『1/3 ほど少なくはなく、2/3 ほど多くない』といったことを意味するであろう。
ところが、これが 0.5 となるとだいぶ話がちがってくる。あるものが 0.5 だというのは、『 0.40.6 よりも 0.5 に近い』ということを意味することになるからである。
つまり、
 1/2 ・・・・・0.3 〜 0.7 (または 0.4 〜 0.6 )
 0.5 ・・・・・0.45 〜 0.55 
というような誤差の範囲を許容しているとみるのが普通なのである。

 『ボイルの法則』を発見した英国のボイル(1627〜1691)の論文では目盛の読みが小数ではなく分数になっている。それをみてもこんな感じで読まれていることがわかる。

 しかし、小学校の算数ではもちろんこんな事柄はとりあげない。私だって『こういう問題をとりあげろ』というつもりはない。私はただ『私たちの日常用いている<半分とか 1/2 >というのは、1/2 = 0.5 と単純におきかえられるものでないことが多い』ということを指摘したいのである。

私たちは日常生活の中で、誤差や近似値のことを考えて、1/2 といったり0.5 といったりして分数と小数の使い分けているのであって、普通の算数における 1/2 = 0.5 よりもかなり高度なことをやっているのである。ところがそういうことに心しないで、ただやみくもに「 1/2 = 0.5 」を押し通すと、私たちの日常生活の中での「便利で(高級な)数量的な言葉の使い方の原理」が破壊されることになりかねない。そのことに注意してほしいのである。

*************************************

なるほど、日常生活で使われている数字の意味や、感覚を大事にしたいということ、日常の生活と結びついている算数や数学の学習の大事さがわかるような気がした。
しかしボイルの法則で知られているボイルの論文で、目盛の読みが分数になっていたなんて全く知らなかった。知っている人もきっと少ないに違いない。
板倉さんは「分数の計算ができない大学生」が話題になったとき、こんなことを書いている。読んで驚く人もいると思うし、顔をしかめる人もいるかもしれない。でも私は読んでいて、こういう視点は自分にはないものだから、知っておいたほうがいいなと思ってのでここに書いておくことにした。

************

・・・今では大部分の人々が「中産階級的なかなりの余裕」をもって生きていくことができるようになりました。私たちの生活はそんなに大きく変化してきてたのです。ですから、当然、学校教育の内容も全面的に変えなければならないはずなのです。それなのに、その現実の変化に応じた教育の改革が遅れているのです。
 いまの教育は、あたかも「明治維新後になっても、子どもたちに「論語」などの四書五経の教育をおしつけているようなものと言っていいでしょう。小学校の高学年以降の教育内容を見てご覧なさい。それらの教育内容は、上級学校への受験のために役立っても、社会に出てからどれだけ役立つというのでしょうか。数学教育関係者の中には、「いまの大学生たちの中には分数の出来ない者もかなりいる」と嘆いたりしている人々がいます。しかし、そういう大学生にとって分数の計算がどれだけ役立つというのでしょうか。いままで当たり前として教えてきたことが受け付けられなくなったからと言って、それを嘆いても仕方がないのです。

 もちろん、分数の計算だって、一部の人々には役立つことがあるし、必要です。だからこそ、ごく一部のエリートだけが教育を受けた時代には、分数の計算も教えられてきたのです。しかし、いまのように、ほとんど全員が高等学校に通い、半分の子どもが大学に進学する時代には、その時代の変化にもっとマッチした教育内容を準備する必要があるのです。

「分数が出来なければ理工系の教育ができない」などという人がいます。しかし私は、「今日の電気の時代を切り開くのにもっとも重要な役割を果たした電気学者ファラデーや電気の発明家エジソンだって、分数の計算ができなかったことは事実だ」と思っています。新しい時代を開くには、もっと創造的な教育が必要なのです。
・・・・・中略・・・・
教育の内容と方法を全面的に改革すれば、かつてなかったようなレベルに教育を高めていくことができるのです。

**************************************

「ロボットは東大に入学できるか」というプロジェクトを立ち上げ、研究を進めていた新井紀子さんは、学生に「どうして私たちの仕事を奪うかもしれない人工知能(AI)の研究をするのですか?」と問われたとき、こう答えたそうだ。

 「私が研究をやめても世界の企業や研究者はAIの研究をやめはしない。
そうならば、AIの可能性と限界をきちんと見極め、対策を取ろうではないか。
AIには弱点がある。それは彼らが「まるで意味がわかっていない」ということだ。

 数学の問題を解いても、雑談につきあってくれても、珍しい白血病を言い当てても、意味はわかっていない。逆に言えば、意味を理解しなくてもできる仕事は遠からずAIに奪われる。」

(2016年11月朝日新聞より ゴチックは私が強調のためにした)

「ぶんすうのがくしゅうをして、分数の計算がわかってうれしい、と喜びがわきあがってきた、そのことの意味」
「どうしてだろう?と胸がざわざわするような好奇心の意味」
そんな「わくわくとドキドキ」、分数の学習にもそういったものがあれば「分数嫌い」や「勉強嫌い」はなくなるかもしれない。
そこに人工知能にはない「人間としての意味」があるのかもしれない。
 「分数ものさし」からとんでもない範囲にひろがってしまった。ゆっくりと考えていこう。

最後の写真は5月1日に種まきをした「藍」。 10日もすると二葉がプランター一面に出てきた。こういったときは、6割ぐらいの発芽率というのかな? それともまいた種の三分の二の発芽率といったほうがいいのかな?
今年も藍染を目ざして藍を育てていこう。

 

 

円周率その4

江戸時代には、二つあった円周率

IMG_20140822_0002

江戸時代には円周率が二つあった、という記事をどこかで読んだ記憶があった。どこかにくわしい説明がないだろうか、とさがして見つけた本がこの「数量的な見方考え方(板倉聖宣著 仮説社)だ。

この本にそって自分のためにまとめておこう。

 江戸時代後半では、数学者たちは円周率を3.14と知っていたが、寺子屋に通っていた百姓や町人の子どもたちは3.16と習っていた。それはどうしてだろう?

さて、日本で最初に出版された数学書は、1615年頃に印刷された「算用記(さんようき)」で、そこに円周率についての表記がある。

「直径が1尺なら、その円周の長さは3尺1寸6分あり」と。
つまり、円周率を3.16としていたことがわかる。

1627年に有名な吉田光由(みつよし)による「塵劫記(じんこうき)」が出る。ここでも円周率を3.16としている。塵劫記は江戸時代のベストセラーとなり、この後に出版された算数や数学の本はみな3.16という円周率を受け継いだ。

算用記

塵劫記

(ウィキペディアより)

3.16の根拠は?

はてさて江戸時代の円周率の3.16の根拠はなんなんだろう。
普通は中国から伝わった数学書からの引用だろうと考えるが、実は中国から伝わった数学書には円周率は3.16と書いた本はなかった。
考えられるのは、江戸時代にだれかが実際に計算したことが予想される。円を書き、糸を使うなどをして円周の長さを測り、直径との関係を求める。誤差が出るが、3.14〜3.16程度の値になる。
「円周率のような数は、半端な数の並び方ではなく、何か美しい数になるにちがいない」と考えるのが世の習い。
ここで「3.16は10の平方根に近い」と考えたのだろうと、「数量的な見方考え方」では推論している。
(古代インドではルート10を円周率に使ったという)
ちなみに、江戸時代ではそろばんで平方根や立方根を求めることができていた。
こんなふうにして、数学好きな人たちの中に「円周率は3.16」ということを信じるようになっていった。(√10=3.16277 ひとまるはみいろにならぶ と習ったなあ)

実際に計算で求めた村松重清

円周の長さを数学的に詳しく計算したのが、4月14日のブログで紹介した村松重清である。彼は円周の長さをものさしを使って計ったのではなく、日本ではじめて数学的な計算で求めたのである。

IMG_20140826_0003

直径1mの円の内側にぴったり入る正六角形を描くと六つの辺の長さは3mになる。
円周の長さは3mより長いのは明らかだ。次に正12角形をつくり、その辺の長さを計算すると3.1058285・・となる。このことを繰り返していく。 詳しい計算の方法は4月14日のブログを見ていただくことにして、1663年に彼は正3万2768角形の辺の長さを求めた。

3.141592648777698869248

これはあくまでも多角形の辺の長さだから、円周率ではない。
しかし彼は「円周率は3.16ではなく、3.14だ」と主張することができた。

広がる3.14

村松重清の発表以降、
翌年の1664年、野沢定信が、村松重清と違う計算方法で計算し、円周率を3.14とした。
このあと多くの人が計算をし、円周率を3.1416とか3.1428など少しずつ違う円周率の数字が発表され、「円周率は3.16ではなく、3.14にはじまる数字だ」と、数学愛好者のあいだで広まっていった。
当時もっとも普及していた算数・数学の本、「新編塵劫記」、「改算記」、「算法闕疑抄(さんぽうけつぎしょう)」も、1684年から87年のあいだに「円周率は3.14・・としたほうがいい」という改訂版を出していった。
ただ改訂版といっても、版を一から作り直すのではなく、「注」として3.16が載っているページの余白などに書き加えたのものだった。
1687年頃には「日本の算数・数学の本はほとんど『正しい円周率の値は3.14だ』」という考えで統一されていったといってよい。

3.14を疑う人たち

ところが、社会的に影響力のある人たちの中で、「円周率は3.14」に疑いを目を向ける人たちがいた。
まず野沢定信。この人は村松重清が計算した翌年に、円周率は3.14と計算して発表していたが、「円周率はルート10」という考え方が気に入っていたので、
「円周率には、『理屈によって得られる平方根10』と『図形をもとにして計算して得られる数』との二種類がり、真理はその二つの数の間にある」と言い出した。

次に荻生徂徠(1666〜1728)。彼は「円の内側にかいた正多角形をどんどん増やしていったら、その多角形の辺の長さや面積は果てしなく増えていくのではないか」と数学者たちの計算の結果を疑った。

三人目が漢方医学者の橘南谿(たちばななんけい 1754〜1806)。彼は「円周率の値は、3.16 あるいは3.14 といろいろに論じているが、まだ疑問の点がたくさんある」といった。

分裂した円周率

その結果どうなったのだろう。 影響力のある人が3.14に異議を唱えると、これまで3.14としていた本が3.16ともどすようになってきた。 そろばんの本で影響力のあった「塵劫記」と「改算記」が改訂の時に、「注」にあった「3.14が正しい」という文言を、省くようになったのである。そろばん入門の本の出版者達の中にも、「円周率3.14を疑っている知識人がいる」と知った人がいて、わざと円周率は√10(3.16)を残したようだ。

「数量的な見方考え方」の本の調査によると、江戸時代後半(1818〜30年)の算数・数学書で、「著者も明瞭で200ページ以上もある数学書は全部が円周率は3.1416あるいは3.14159」と表記されていた。しかし「著者名も記されず30〜100ページのそろばんの本のほとんどが円周率を3.16」としていることがわかった。

結果的に、数学者や数学愛好者の間では円周率は3.14とわかっていたが、百姓や町人の子どもたちは寺子屋やそろばん入門の本で円周率は3.16と習うようになったのである。

すべての人に納得させるという考え方がなかった江戸時代。

江戸時代の数学者には、円周率は3.14ということに疑問を持つ人を納得させる方法を考えつかなかったのだろうか。
たとえば、私のブログの「円周率その1」(3月14日)で取り上げた中国の劉徽は、円に内接する多角形と外接する多角形とを考えて、多角形の周の長さを円の両側から挟んで円周率を求める方法を使った。 

IMG_20140826_0001

日本ではこのように考えた人はいなかったのだろうか。
いや、一人いた。
蒲田俊清(1678〜1747)という人が「宅間流円理(たくまりゅうえんり)」という本で、円周に内側と外側から接する正多角形を考えて、円周率の上限と下限を決めていた。
残念なことにこの本は手書きで写されていて印刷されていなかったため、研究を受け継ぐ人がいなかった。

1712年に関孝和(11桁)、1722年に建部賢弘(41桁)と、精密に円周率の計算をしたが、不思議なことに円に内接する多角形のみの計算方法で、内側と外側からせまる方法は蒲田俊清以外だれもとっていない。計算方法がわからなかったはずはなく、ただそういった考え方をしなかったと思われる。

江戸時代の和算は、中国の水準を超えるまで発展したが、古代ギリシャ以来の数学の伝統である「他分野の学者たちをも完全に納得させるには、どういう議論をしたらいいのか」ということはせず、「だれでも納得するような理屈・論理」「すべての人々を納得させずにはおかない研究法」が確立していなかったのだ、と『数量的な見方考え方」では説明されている。

分裂した円周率は、明治維新後の学制発布による学校教育によって、すべての人々が正しく3.14と学習するようになった。

*この「数量的な見方考え方」には、調べた和算の本などの詳しいデータがのせられているが、この記事では省略し結果のみを記した。