分数の計算③

分数の計算の仕方についていろんな本が出でいる。
左の本は「ドラえもんの算数おもしろ攻略」。その中の分数の掛け算と割り算をあつかったもの。

結構丁寧な説明がしてあり、「分割分数」や「量分数」・「単位分数」・「商分数」などの説明がある。
この本の説明は主に数直線と比例関係を使って説明している。

たとえば「花咲かじいさん」の世界に行くために、「つづきスプレー」をまいてお話の続きを見ようとする場面がある。

会話で説明が続く。

しずか 数直線を見ると ❏ ✕ 1/4=2/5 という式もできるわ。この式だと ❏=2/5÷1/4 というわり算の式になるわね。

スネ夫 2/5÷1/4の式の意味は、2/5平方メートを1/4デシリットルでわることだよね。吹き付けられた面積を液体の量でわることできるの?

ドラ 式の意味は、1/4デシリットルで2/5平方メートルに吹き付けることができる。1デシリットルでは何平方メートルふきつけられますかということ。 液体1/4デシリットルで2/5平方メートル。これを言葉の式に当てはめると、
(1デシリットルで吹き付けられる面積)✕(液体の量)=(吹き付けられる面積)だから
(1デシリットルで吹き付けられる面積)=(吹き付けられる面積)÷(液体の量)となるので 2/5÷1/4 という式になるんだ。

左のドラえもんたちの会話を受けて

ジャイアン 分母も分子もわりきれる分数になおすんだな。

分母と分子に4をかけて
分子=2✕4
分母=5✕4÷4
(2✕4)/(5✕4÷4)=8/5

しずか 分数÷分数の計算は、わる分数の分母と分子の逆数をかければ?

スネ夫 (分子/分母)÷(分子/分母)=(分子/分母)✕(分母/分子)
ってことだね!

*引用した漫画のような意見のだしあいによって、
分数÷分数の計算は逆数を使えば簡単に計算できることが説明されている。

ドラえもんは次のように、これまでの考えてきたことを整理している。

 

「数は生きている』ではどのような説明をしているだろうか。

分数の割り算といえば「分母と分子をひっくり返してかけ算にすればよい」ということだけが記憶に残っている。なぜそうなるのか、という説明が本によっていろんな工夫をしていることがわかる。

この本では先生と二人の子どもの対話で説明されている。
まず「水3/5リットルという量はどうやってつくったらいい?」からはじまっている。
詳しい説明は省いて、結果を書けば、

一つは「1リットルの水を5等分してそのうち3つをとる」方法。
式で書けば 3/5リットル=1リットル÷5✕3

もう一つは「3リットルの水を5等分する」方法。式で書けば
3リットル÷5=3/5リットル
この式は1リットルを3倍してから5で割ったものと同じだから
3/5リットル=1リットル✕3÷5 となる。
分数には2つの意味があり、それらは✕と÷の入れ替えに対応している、ことをまずおさえている。

ここで次のような問題がだされる。「10リットルの水を一人に2/3リットルずつ分けたら、何人に分けられるか?」

三郎 ここに10リットル分のタイルを書きます。2/3リットルずつ分けるのですから、全部のタイルを3等分します。この1−タイルを3等分したうちの2つ分をとればそれぞれ2/3リットルです。これが全部で15個とれます。 10リットル÷2/3リットル=15 で、15人にわけられます。

先生 全部のタイルを3等分したら、そのタイルはいくつ分に分かれた?

三郎 10個のタイルを3等分したから、10✕3で30個です。この3は分母の3ですね。次にこの30個の中に2個ずつの組が、いくつできるかを求めるんだから、2で割ればよい。
   10÷2/3=10✕3÷2

先生 もう一息だ。さっきやったろう。分数の2つの意味を。

三郎 あっ、そうか。「3をかけて2で割る」のは「2で割って3をかける」のと同じだったから、
   10÷2/3=10✕3÷2=10÷2✕3=10✕3/2
で、「分数で割るときは、ひっくり返してかける」ことになります。あぁ、わかった。

明子 わたしも、学校では先生にいわれたとおりに計算していたけれど、計算の意味なんて考えてもみませんでした。わけも考えると数学もおもしろいんですね。

*こんなふうに対談の中で、計算の意味、式の変形などに気がつくように工夫をして、読者に考えさせようとしている。

分数の割り算を考える時に、「線分図」「数直線」「テープ図」「タイル」「水そう」「折り紙」「ペンキで壁ぬり」など、いろんな場面や教具を考え、工夫をしている。

そのなかで私の興味を引いたのが右の本。

分数の計算の説明に、水槽を使ったり、数直線を使ったり、あるいは線分図、折り紙といろいろと使って、「分数の割り算はひっくり返してかける」を説明しているが、それ以外にもありますよ、という内容の本。その方法はこれまでの説明にもチラッとでているのだが、全面に出して紹介しているのが興味深かった。

たとえば次のような問題を考える。

「2と2/3mのテープがあります。3/4mずつ切ると何本とれますか?」

この本の図の説明は私にはわかりにくかったので、自分がわかるテープ図を使って説明してみよう。

計算式は(2と2/3m)÷3/4m であることは図よりわかる。
帯分数を繁分数になおして、8/3÷3/4 として考える。
分母が3と4なので通分して32/12÷9/12として考えることができる。
図には1mを12等分し、32/12,9/12を線分上に記している。

32/12は、1/12が32個ある(12✕2+8)。
9/12は、1/12が9個ある。
ということはこの分数の計算は、32÷9の計算と同じだといえる。
32÷9=3と5/9

つまり、(2と2/3)÷3/4=8/3÷3/4=32/12÷9/12は
     (32÷9と同じなので)=3と5/9

これを逆数を使ってひっくり返して計算する方法を使ってみると、

8/3÷3/4=8/3✕4/3=(8✕4)/(3✕3)=32/9=(3と5/9)

同じ結果になる。
作者は「このように通分して計算する方法もある。この方法は余りの計算も楽である」という。

たとえば、上の問題で「何m余りますか?」と聞かれたらどう答える?

両方ともに答えは「3と5/9」。この時の単位は本で、「3本と5/9本」という意味であり、5/9mではないことに注意しよう。

逆数を使った計算では、3/4mの5/9という意味であるので、
3/4✕5/9=15/36=5/12 と計算し、余りは5/12mとなる。

通分を使った計算では、32÷9=3余り5 となることから、
5というのは1/12が5個あるということだから、余りは5/12mとなる。
通分した分母の数(ここでは12)がそのまま余りの分母に使える。

一番最初に紹介した「分数ものさし」の方法は、分数を通分して、単位となる分数の数を数えているのでこの方法に近いと思う。

これまでいろいろと分数に関わる本を読んで考えてきたが、
分数の割り算は「ひっくり返してかける」方法だけではない。問題によればかけ算のほうが早い場合もある。考え方も水槽や折り紙や数直線やテープ図やいろんな考え方を使うことができる。「分数ものさし」もその中の一つの方法だ。
 この方法だけ、というただ一つのやり方に固執することはない。
というのが私の結論のようだ。

 

ベイマックス 4

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左の写真は3月に公開予定のドラえもんの映画の宣伝用のチラシから。
ベイマックスとドラえもん、どちらのロボットも、こんなロボットがあったら幸せだろうなあ、ほしいなあ、という感想を多くの人が持つロボット。
さて、ドラえもがいたら本当に幸せになれるのだろうか。
新井先生は「ロボットは東大にはいれるか」で、こんなふうに書いている。

ドラえもんが居る世の中になったら、のび太くんは何をして働いていくんだろう。ドラえもんがいたら宿題もしてくれるし、困ったことはみんな解決してくれる、その時、のび太くんは何をして暮らしていくのだろう。
ロボットに働かせてあそんでいればいい、と思うかもしれないけれど、ロボットが働いて得たお金は、ロボットを作った会社やその会社がある国だけじゃなくて、のび太くんのところにもちゃんとお金が回ってくるのかしら。ドラえもんと一緒にのび太くんもジャイアンも幸せになるには、どんな社会の仕組みを作っていけばいいんだろう。
私は、近代以降私たちが培ってきた「役に立つ」「便利になる」というのとは全く違うタイプの知恵や仕組みが必要になるような気がしてなりません。

うーん。私はうなってしまった。
確かにその通りのようにおもえる。
いろんな分野への機械化は人間の労働を変えてきた。辛い仕事から人間を解放し、身の周りの環境を住みやすくしてきた。
人が住みやすい社会にしていくために、学校などの教育機関で学び、社会へ出る準備をする。社会に出てからも学びなおして新しい社会に適用できるような仕組みもある。しかしその社会がこれまでにないスピードで変化する、しかもその質が予想したこともないようなものになっているのではないか、という疑問がわいてくる。
ベイマックスの映画の世界とは逆に、「ターミネーター」や「マトリックス」の世界もあると思った時、ホーキング博士の警告があることを知った。

ターミネーター2

ーーーーーーーーーーーーーーーーーBBCのインタビューに対して、ホーキング博士は次のように語った。「完全な人工知能を開発できたら、それは人類の終焉を意味するかもしれない」

ホーキング博士は「人工知能が自分の意志をもって自立し、そしてさらにこれまでにないような早さで能力を上げ自分自身を設計しなおすこともあり得る。ゆっくりとしか進化できない人間に勝ち目はない。いずれは人工知能に取って代わられるだろう」と語った。

人工知能の進化に人類が歩調を合わせることができる能力を、人工知能が上回ることになる、いわゆる「技術的特異点」についてホーキング博士は既に懸念を表明している。5月、イギリスの新聞「インディペンデント」に掲載された論説で博士は「人工知能の発明は人類史上最大の出来事だった。だが同時に、『最後』の出来事になってしまう可能性もある」と述べている。

こう懸念しているのはホーキング博士だけではない。スペースXおよびテスラモーターズのCEOであるイーロン・マスク氏は、先月「人工知能にはかなり慎重に取り組む必要がある。結果的に悪魔を呼び出していることになるからだ。ペンタグラムと聖水を手にした少年が悪魔に立ち向かう話を皆さんもご存知だろう。彼は必ず悪魔を支配できると思っているが、結局できはしないのだ」と言っている。

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「技術的特異点」という新しい言葉を知った。
人工知能(ロボット)が人工知能を使って自分自身を進化される可能性があるというのだ。そしてそのスピードに人間が追いつけなくなる時、それが技術的特異点であり、人間の存在意義とは何かと突きつけられる時と私は理解した。

もちろんホーキング博士の意見に反対する人達もいる。

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◎ 一方、英オックスフォード大学(Oxford University)で未来技術の影響に関するプログラムを率いるニック・ボストロム(Nick Bostrom)教授は、人工知能が人間を超えるという脅威は切迫していないと語る。同氏は軍用無人機や自動運転者、工場で働くロボットなどを挙げ、現在使用されている応用法や、近い未来で使用される見込みの応用法では、人工知能はまだ人間の手中にあると指摘する。

 とはいえ、同氏は「機械の知能は最終的には生物の知能を超えるだろう。そしてその過程で人間の存在が大きく脅かされる危険性もある」とも語っている。

◎ 警鐘を鳴らす人ばかりではない。シアトルのアレン人工知能研究所のCEOであるオレン・ エツィオーニ氏は、先日ウェブサイトRedditのAMA(何でも質問に答えるスレッドで「Ask Me Anything」の略)で、「私は人工知能を恐れていませんし、みなさんも恐れる必要はありません」と投稿した。

エツィオーニ氏は、次のようにも説明した。「たとえば100万年後、特異点を迎える可能性はあります。けれど賢いコンピューターが世界制覇するという終末論的構想は『馬鹿げている』としか言いようがありません。私は、この分野で25年以上研究を続けている立場から、人間が進歩し続けても、知能が暴走するようなことはないと申し上げたい。文字を読み、理解できるプログラムはどんどん進化しているが、そのプログラムがどこかに勝手に走り出してしまう危険は全くないだろう」

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ホーキング博士のように、世界的に有名な科学者が発言すると、賛成意見も反対意見も出てくる。私にはどちらが正しいか即断することはできないが、考える機会を提供してもらっていることはよくわかる。
ターミネーターもベイマックスもチップ一つでその性格がかわるシーンが描かれていた。現実はそんな簡単なことではなく、私たちの知らないところでコンピュータへの依存が進んでいることは確かだ。
もう少し考えなくては。

参考にした記事。

http://www.huffingtonpost.jp/2014/12/03/stephen-hawking-ai-spell-the-end-_n_6266236.html

http://www.afpbb.com/articles/-/3033764