アナレンマ

このモニュメントは何?

丘の上にある不思議なモニュメント、もう少し接近してみよう。

三本の柱の真中付近に何かがある。

もう少し拡大してみよう。

ここは堺市立みはら歴史博物館
(M-Cみはら)にある公園。
三原ふる里公園と呼ばれているところ。

ホームページを見ると、
「カタチ造りの達人がグランドコンセプト。中世の鋳物技術者集団河内鋳物師、24領の鉄製甲冑が出土した黒姫山古墳をメインテーマとした展示と、文化・芸術に触れ交流できるホールとの複合施設です。愛称のM-Cみはらは、Museum(博物館)とCommunity(交流)をイメージしています。」
とある。

このモニュメントは、その「みはら歴史博物館」の裏側にある「三原ふる里公園」にある。

モニュメントには写真のように、三本のワイアで固定されているものがある。私には全く何かわからなかった。そばに説明があったので読んでみよう。

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モニュメントのレリーフは、鋳物師発祥の地の由来から「炎」を表現し、そこからモニュメントが生まれたことを物語っています。
また、刻の丘の位置づけから正午を示す機能も備え、中空に張られたノーモン(き針=ドーナツ型円盤)の影と、柱に刻まれた8の字の字型のアナレンマ(均時差=見かけの太陽と標準時の差をグラフ化したもの)で正午を読み取ります。
時計の12時は一つしかありませんが:この正午日時計は、季節で高さが変化し、太陽と地球の軌道関係で左右にずれ、8の字を形成します。晴れた日には、機械仕掛けでは味わえない、季節感や宇宙観を与えてくれる夢の時計で、感じることを心に刻んでください。

 アナレンマ(正午用)の味方
①月日を探す(目盛りの間隔は約10日)
②その月日の線上にノーモンの穴の光が差し込んだら正午です。
③また、数値でその日の均時差が解ります。(2分表示)
  東経 135度33分45秒
  北緯 34度32分42秒

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 なるほど上の写真のように線と文字が刻まれている。
この文字と線が刻まれている一番低いところを見ると、

6月21日が一番低いところの印になっている。これは夏至近くという意味だろうか。 逆に一番上の部分を見ると12月末になっている。冬至ということかもしれない。
アナレンマ・・・・!この言葉に記憶があった。そうだ、明石の天文台で見たのだ。

上の写真が明石の天文台で見た「正午計」。

この正午計を拡大したのが「みはら歴史博物館」でみたアナレンマを利用した「正午計」なのだ。
今日は12時をとっくにすぎている。天気の良い日の12時頃に来れば、アナレンマの現象を見ることができるかもしれない。
一つ楽しみが増えた。

 

 

 

分数の計算④

私たちの分数感覚 → 1/2 は 0.5 か?

私たちの「分数に対する感覚」を気づかせてくれるのがこの本。

左の「数量的な見方考え方」の著者板倉さんは次のように書いている。

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「・・・私たちは、学校で教わる算数とは別に、<現実の事物の数量的な問題をうまく取り上げるいろんな知恵>を身につけていることにも注意しなくてはいけないのではないだろうか」

「私たちは日常的によく『半分』という言葉を口にする。それなら、この『半分』というのは 『1/2 のことであるから、0.5 のことだ』と言っていいのかというと、そうではないだろう。
 もともと、現実の事物を数量的にとらえるときには、誤差がつきものであり、近似的にならざるを得ないことが多いものだが、 1/2 と 0.5 では誤差の幅がかなり変わってくるからである。
実際の場面で 1/2 といったとき、(場合にもよるが)それは『1とも0とも言い難い、その中間ぐらいというほかない』とか『1/3 ほど少なくはなく、2/3 ほど多くない』といったことを意味するであろう。
ところが、これが 0.5 となるとだいぶ話がちがってくる。あるものが 0.5 だというのは、『 0.40.6 よりも 0.5 に近い』ということを意味することになるからである。
つまり、
 1/2 ・・・・・0.3 〜 0.7 (または 0.4 〜 0.6 )
 0.5 ・・・・・0.45 〜 0.55 
というような誤差の範囲を許容しているとみるのが普通なのである。

 『ボイルの法則』を発見した英国のボイル(1627〜1691)の論文では目盛の読みが小数ではなく分数になっている。それをみてもこんな感じで読まれていることがわかる。

 しかし、小学校の算数ではもちろんこんな事柄はとりあげない。私だって『こういう問題をとりあげろ』というつもりはない。私はただ『私たちの日常用いている<半分とか 1/2 >というのは、1/2 = 0.5 と単純におきかえられるものでないことが多い』ということを指摘したいのである。

私たちは日常生活の中で、誤差や近似値のことを考えて、1/2 といったり0.5 といったりして分数と小数の使い分けているのであって、普通の算数における 1/2 = 0.5 よりもかなり高度なことをやっているのである。ところがそういうことに心しないで、ただやみくもに「 1/2 = 0.5 」を押し通すと、私たちの日常生活の中での「便利で(高級な)数量的な言葉の使い方の原理」が破壊されることになりかねない。そのことに注意してほしいのである。

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なるほど、日常生活で使われている数字の意味や、感覚を大事にしたいということ、日常の生活と結びついている算数や数学の学習の大事さがわかるような気がした。
しかしボイルの法則で知られているボイルの論文で、目盛の読みが分数になっていたなんて全く知らなかった。知っている人もきっと少ないに違いない。
板倉さんは「分数の計算ができない大学生」が話題になったとき、こんなことを書いている。読んで驚く人もいると思うし、顔をしかめる人もいるかもしれない。でも私は読んでいて、こういう視点は自分にはないものだから、知っておいたほうがいいなと思ってのでここに書いておくことにした。

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・・・今では大部分の人々が「中産階級的なかなりの余裕」をもって生きていくことができるようになりました。私たちの生活はそんなに大きく変化してきてたのです。ですから、当然、学校教育の内容も全面的に変えなければならないはずなのです。それなのに、その現実の変化に応じた教育の改革が遅れているのです。
 いまの教育は、あたかも「明治維新後になっても、子どもたちに「論語」などの四書五経の教育をおしつけているようなものと言っていいでしょう。小学校の高学年以降の教育内容を見てご覧なさい。それらの教育内容は、上級学校への受験のために役立っても、社会に出てからどれだけ役立つというのでしょうか。数学教育関係者の中には、「いまの大学生たちの中には分数の出来ない者もかなりいる」と嘆いたりしている人々がいます。しかし、そういう大学生にとって分数の計算がどれだけ役立つというのでしょうか。いままで当たり前として教えてきたことが受け付けられなくなったからと言って、それを嘆いても仕方がないのです。

 もちろん、分数の計算だって、一部の人々には役立つことがあるし、必要です。だからこそ、ごく一部のエリートだけが教育を受けた時代には、分数の計算も教えられてきたのです。しかし、いまのように、ほとんど全員が高等学校に通い、半分の子どもが大学に進学する時代には、その時代の変化にもっとマッチした教育内容を準備する必要があるのです。

「分数が出来なければ理工系の教育ができない」などという人がいます。しかし私は、「今日の電気の時代を切り開くのにもっとも重要な役割を果たした電気学者ファラデーや電気の発明家エジソンだって、分数の計算ができなかったことは事実だ」と思っています。新しい時代を開くには、もっと創造的な教育が必要なのです。
・・・・・中略・・・・
教育の内容と方法を全面的に改革すれば、かつてなかったようなレベルに教育を高めていくことができるのです。

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「ロボットは東大に入学できるか」というプロジェクトを立ち上げ、研究を進めていた新井紀子さんは、学生に「どうして私たちの仕事を奪うかもしれない人工知能(AI)の研究をするのですか?」と問われたとき、こう答えたそうだ。

 「私が研究をやめても世界の企業や研究者はAIの研究をやめはしない。
そうならば、AIの可能性と限界をきちんと見極め、対策を取ろうではないか。
AIには弱点がある。それは彼らが「まるで意味がわかっていない」ということだ。

 数学の問題を解いても、雑談につきあってくれても、珍しい白血病を言い当てても、意味はわかっていない。逆に言えば、意味を理解しなくてもできる仕事は遠からずAIに奪われる。」

(2016年11月朝日新聞より ゴチックは私が強調のためにした)

「ぶんすうのがくしゅうをして、分数の計算がわかってうれしい、と喜びがわきあがってきた、そのことの意味」
「どうしてだろう?と胸がざわざわするような好奇心の意味」
そんな「わくわくとドキドキ」、分数の学習にもそういったものがあれば「分数嫌い」や「勉強嫌い」はなくなるかもしれない。
そこに人工知能にはない「人間としての意味」があるのかもしれない。
 「分数ものさし」からとんでもない範囲にひろがってしまった。ゆっくりと考えていこう。

最後の写真は5月1日に種まきをした「藍」。 10日もすると二葉がプランター一面に出てきた。こういったときは、6割ぐらいの発芽率というのかな? それともまいた種の三分の二の発芽率といったほうがいいのかな?
今年も藍染を目ざして藍を育てていこう。

 

 

金沢で外乗

金沢の内灘と千里浜での外乗

金沢の海辺を走るという外乗の案内があったので申し込んだ。

ここには内灘という海岸と、千里浜という海岸があり、そこを馬で走るという外乗だ。海辺を走るというのは魅力的なもので、いつか行ってみたいと思っていた。

サンダーバードに乗って金沢へ。

ここは金沢駅の構内。「あんやと」とか「あんと」というのは、金沢周辺での言葉で「ありがとうございます」という意味だとバスの運転手さんがおしえてくれた。
大阪弁の「おおきに」みたいなものだろう。

バスに乗って小一時間。海辺にある「クレイン金沢」にやってきた。

目の前に広がっているのが日本海。内灘だ。この日は暖かかったが、冬になると車がやってこれないほどの雪が積もるそうだ。

ここは障害のレッスン以外は屋内で行われている。

いいお天気だったが、馬にとってのコンディションはもうひとつのようだった。 私の乗った馬では、駆け足が数歩でただけ。 指導員さんも「今日は駆け足が出たらもうけもの、というぐらいです」と言っていたい。
というのは、週末のため家族連れなどが浜辺であそんでいて子どもたちの甲高い声があったり、浜辺の掃除のためかクレーン車のようなトラックが走っているからだ。
また海浜清掃で集められた色とりどりのゴミの山があちこちにちらばっている。 海や浜の上空ではタコのようのものが飛んでいる。「馬にとっては日常の空間でなくなっているので不安なようです」、と指導員さんは言っていた。

ホテルは金沢市内。階上のレストランから兼六園・金沢城公園が見える。

二日目はバスに乗って直接に千里浜に移動。馬も車に載せられて海岸に来た。

この浜は車が走ることができるので有名なところ。 そこを馬が走っているのは、車の運転手にとってもびっくりのようだ。

アクシデントがおきたので、1回目の走行で中止となり、2回目、3回目の走行はなくなった。

この馬はミニホースのトトロちゃん。みんなの人気者だ。お手ができるミニホースだけれど、体重は100Kgを超えているという!

外乗は、天候や馬の調子、施設の安全性、スタッフの対応など、考えることが多い。

さて来年に再びチャレンジしたいが、それまでにもっと練習しておこうとも思った。

右の写真は一日目の夕食のため金沢市内を歩いていた時にとったもの。月とハナミズキ。
金沢市内の街路樹は、ハナミズキが多かった。
ハナミズキが日本に広まったのは、日本がアメリカ(ワシントンDC)に桜(ソメイヨシノ)を贈ったお礼として送られてものがハナミズキだったからだといわれている。
ハナミズキはアメリカ原産のものだが、今は日本の各地に広がり、桜とともに春の花として知られている。金沢でハナミズキを見るとは予想もしていなかった。

 

 

 

 

分数の計算②

分数の歴史

分数の歴史はどこまで遡れるのだろう。 改めて考えてみると、私にはわからないので調べてみた。

参考になったのが上の二冊。 「岩波科学の本9 数は生きている」と「ちくま学芸文庫 初等数学史」である。
そこにアーメスのパピルスの説明があった。

「数は生きている」からの引用が上の写真。

「初等数学史」からの引用が上の写真。分数の具体例が書いてある。

上の写真はウィキペディアからの引用。 実物はこんな感じなのだろう。
33cm✕5mぐらいの巻物状だったらしい。

この「アーメスのパピルス」というのは1858年にテーベで発見されたもので、イギリス人の学者のリンドが手に入れて研究したため、「リンド・パピルス」ともよばれている。紀元前1700年ごろに書かれた数学書だそうだ。
紀元前1700年といえば日本ではまだコメも伝わっていない縄文時代だ。
今から約4000年!!前から分数は使われていたことがわかる。

エジプト人は単位分数の和が連続量を表す最終的な表し方であると考えていたらしい。今の分数の計算方法とは違っている。詳しいことは「数は生きている」を見てほしい。

もちろんエジプト人すべてがこの分数を使っていたということではない。ごく一部の専門家が知っていて、使っていたと思われる。

 

分数の文化圏と小数の文化圏

左の本「水道方式入門 小数・分数編」によると、「中国・古代バビロニアでは、小数が主として使われていました。
・・・中国においては、古代から一貫して小数のほうが流通していたのです。中国の文化圏に属する日本でも、したがって、小数が主に使用されてきました。・・・ところが、一方、古代ギリシアのようなところでは、小数は使われず、もっぱ分数のみが使用されていました。それを引き継いだ、古代ローマやヨーロッパが、分数を主に使っていたのはそのためでした。ヨーロッパが今日のような10進小数の便利さを主張したのは、やっと16世紀のシモン・ステヴィンであったのです。ヨーロッパでは、小数のことを10進分数(decimal fraction)というので、小数という独自の用語すらないことをおもいだしてください。」

へーっ、そうなんか。と目からウロコのような感じ。では分数はどのようにして使われていたのだろう。分数の基本となる互除法について次のような説明がある。

「互除法は、古代ギリシアで、実際に用いられた測定法だったのです。小さな都市国家に分かれ、貴族民主主義の発達していたギリシアの社会では、市場で2つの商品の量を比較する場合、法定単位で測るというようなことはありませんでした。
 Aという商人がa という長さの布を、Bという商人がb という長さの布を持ってきたりすると、片一方がもう一方のいくつ分持っているかを測り、それで余りが出れば、その余りで他方の布の長さを測り、それで余りが出れば、その余りで他方の布の長さを測り、・・・というように、対等に測り合って、代金の比率を求めたのでした。」

分数文化圏として、ギリシア、ローマ、ヨーロッパがあり、小数文化圏として中国・日本があることがわかった。私たち日本人は、文化として小数になじんでいるため、分数の考え方や使い方になかなかなじめないことが、歴史的によく分かる。

 

 1/3 を 三分の一と分母から読むのは日本だけ?

日本に分数が伝わったのは中国の「九章算術」という本によってらしい。
この本は奈良時代に伝わってきたようだ。ここには分数の問題もあったそうだ。
養老令には「三分之一」という言葉があったり、その他の法律にも「三分之二」「四分之三」などの言葉が記されているそうだ。
奈良時代・平安時代から分数の読み方として「分母を先に言う」という言い方が定着していたようだ。

岩波新書の「日本語(下)」に分数のことが書いてあった。

「・・・このように順序を乱して書く例は、実は日本語にもある。例の分数である。三分の二を2/3と書く。小学生のころ、うっかり分子を先に書いて分母をあとで書くと、先生に叱られたもので、これは、日本でこの分数を読むときに、「三分の二」というように、分母を先に分子をあとに言うせいである。英語では two thirds と言うから、分子を先に書いて、分母を後にしても差し支えない。
 これを思うと、日本もこういったものを、「二の三分」とでも言っておけば、そんな無理なことをしなくてもよかったんだと思う。・・・・」

明治維新になって、今の分数の書き方が日本の学校に入ってきた。そのときには、分数をどう読むか議論があったかもしれない。
たぶん長年の伝統から、分母を先に言って、下に書き、分子を上に書く、という方式になったのだろう。

インターネットでざっと調べてみると、英語、フランス語、イタリア語、ドイツ語、ロシア語は、two thirds のように分子を先に言い、後から分母を言う読み方をしている。分数の文化圏なのだろう。
ミャンマー語は日本と同じように、分母、分子の順に読んでいるようだ。
日本語のように分母を先に読んでいる言語は多数派でないような気がするが、これ以上のことはわからない。

日本が小数文化圏であるため、分数に馴染んでいないこと、そして中国式読み方と西洋式表記法のぶつかりあいが、ますます分数の学習を難しくさせているのかもしれない。

 

 

分数の計算①

分数ものさし

ネットで「分数ものさし」という記事を見つけた。

なんでも小学生の子が夏休みの宿題として考えたものが製品化されたいうので、興味がわいた。

さっそく書店を幾つか回って発見した。練習のドリルとものさしがついたものがあったので買うことにした。
それが左の写真。
ドリルの上においてあるのが、その「分数ものさし」。15cmのプラスティクのものさしに、分数表示のめもりが書かれている。

この本の裏表紙に分数ものさしの使い方がわかるような説明図がある。それが上の写真。

実際に自分でこの分数ものさしを使ってみた。
ドリルの数字を少し変えて、その計算方法を説明してみよう。

1.足し算

まずは足し算。1/6+2/3 の計算の仕方の説明。

1/6の線を引いて、ものさしを動かし、そこから上の写真のようにものさしをうが指し、ものさしの2/3 の部分を探して線を引く。

ものさしを当ててみると、5/6 になっているので、1/6+2/3=5/6  という説明。

 

2.引き算

次は引き算。1/2- 1/3 を計算してみよう。

図のように1/2 の長さから 1/3 の長さ分だけを取ると、残りの長さは 1/2 – 1/3 となっているはずなので、そこの長さを分数ものさしではかると 1/6 になる。だから、
 1/2 – 1/3 = 1/6 になるという説明だ。

かけ算

次はかけ算。

1/4 ✕ 2/3 の計算。

たて1(12cm)、
よこ1(12cm)の正方形を分数ものさしを使って書く。

①分数ものさしを使って、たてに 1/4  よこに 2/3 の線を引く。

②図のように 1/4 ✕ 2/3 の部分の面積を塗りつぶす。

③ぬりつぶしたところは、全体の面積の 2/12 になっている。

④2で約分すると 1/6 

これで 1/4 ✕ 2/3 = 1/6 ということがわかるというのがこの本の説明。

 

わり算

 

分数ものさしを紙に書いてみて、説明してみよう。
この本の問題文は「二分の一の宝物を四分の一人で山分けしよう」というものだが、ここでは六分の一人にして計算してみた。
上の写真のように、1/2 と 1/6 がわかるように色分けしてみる。

① 1/12 がいくつ分か考える。 → 1/2 は 1/12 が6こ
② 1/6 は 1/12 が2こ
③これは6こを2人でわけるのと同じことだから
 6 ÷ 2 となるので

 1/2 ÷ 1/6 = 3  というのがこの本の説明。

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この「分数ものさし」の本(ドリル)には、たくさんの練習問題がついている。
分数ものさしをつかって、ドリルをして分数の計算に習熟するというのがねらいなのだろう。

自分でやってみて、この本のねらいとしている「分数の感覚」を身につけることはできるのだろうか、とちょっと疑問がわいてきた。
この機会に分数のことについてあらためて勉強してみようと思った。