分数の計算④

私たちの分数感覚 → 1/2 は 0.5 か?

私たちの「分数に対する感覚」を気づかせてくれるのがこの本。

左の「数量的な見方考え方」の著者板倉さんは次のように書いている。

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「・・・私たちは、学校で教わる算数とは別に、<現実の事物の数量的な問題をうまく取り上げるいろんな知恵>を身につけていることにも注意しなくてはいけないのではないだろうか」

「私たちは日常的によく『半分』という言葉を口にする。それなら、この『半分』というのは 『1/2 のことであるから、0.5 のことだ』と言っていいのかというと、そうではないだろう。
 もともと、現実の事物を数量的にとらえるときには、誤差がつきものであり、近似的にならざるを得ないことが多いものだが、 1/2 と 0.5 では誤差の幅がかなり変わってくるからである。
実際の場面で 1/2 といったとき、(場合にもよるが)それは『1とも0とも言い難い、その中間ぐらいというほかない』とか『1/3 ほど少なくはなく、2/3 ほど多くない』といったことを意味するであろう。
ところが、これが 0.5 となるとだいぶ話がちがってくる。あるものが 0.5 だというのは、『 0.40.6 よりも 0.5 に近い』ということを意味することになるからである。
つまり、
 1/2 ・・・・・0.3 〜 0.7 (または 0.4 〜 0.6 )
 0.5 ・・・・・0.45 〜 0.55 
というような誤差の範囲を許容しているとみるのが普通なのである。

 『ボイルの法則』を発見した英国のボイル(1627〜1691)の論文では目盛の読みが小数ではなく分数になっている。それをみてもこんな感じで読まれていることがわかる。

 しかし、小学校の算数ではもちろんこんな事柄はとりあげない。私だって『こういう問題をとりあげろ』というつもりはない。私はただ『私たちの日常用いている<半分とか 1/2 >というのは、1/2 = 0.5 と単純におきかえられるものでないことが多い』ということを指摘したいのである。

私たちは日常生活の中で、誤差や近似値のことを考えて、1/2 といったり0.5 といったりして分数と小数の使い分けているのであって、普通の算数における 1/2 = 0.5 よりもかなり高度なことをやっているのである。ところがそういうことに心しないで、ただやみくもに「 1/2 = 0.5 」を押し通すと、私たちの日常生活の中での「便利で(高級な)数量的な言葉の使い方の原理」が破壊されることになりかねない。そのことに注意してほしいのである。

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なるほど、日常生活で使われている数字の意味や、感覚を大事にしたいということ、日常の生活と結びついている算数や数学の学習の大事さがわかるような気がした。
しかしボイルの法則で知られているボイルの論文で、目盛の読みが分数になっていたなんて全く知らなかった。知っている人もきっと少ないに違いない。
板倉さんは「分数の計算ができない大学生」が話題になったとき、こんなことを書いている。読んで驚く人もいると思うし、顔をしかめる人もいるかもしれない。でも私は読んでいて、こういう視点は自分にはないものだから、知っておいたほうがいいなと思ってのでここに書いておくことにした。

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・・・今では大部分の人々が「中産階級的なかなりの余裕」をもって生きていくことができるようになりました。私たちの生活はそんなに大きく変化してきてたのです。ですから、当然、学校教育の内容も全面的に変えなければならないはずなのです。それなのに、その現実の変化に応じた教育の改革が遅れているのです。
 いまの教育は、あたかも「明治維新後になっても、子どもたちに「論語」などの四書五経の教育をおしつけているようなものと言っていいでしょう。小学校の高学年以降の教育内容を見てご覧なさい。それらの教育内容は、上級学校への受験のために役立っても、社会に出てからどれだけ役立つというのでしょうか。数学教育関係者の中には、「いまの大学生たちの中には分数の出来ない者もかなりいる」と嘆いたりしている人々がいます。しかし、そういう大学生にとって分数の計算がどれだけ役立つというのでしょうか。いままで当たり前として教えてきたことが受け付けられなくなったからと言って、それを嘆いても仕方がないのです。

 もちろん、分数の計算だって、一部の人々には役立つことがあるし、必要です。だからこそ、ごく一部のエリートだけが教育を受けた時代には、分数の計算も教えられてきたのです。しかし、いまのように、ほとんど全員が高等学校に通い、半分の子どもが大学に進学する時代には、その時代の変化にもっとマッチした教育内容を準備する必要があるのです。

「分数が出来なければ理工系の教育ができない」などという人がいます。しかし私は、「今日の電気の時代を切り開くのにもっとも重要な役割を果たした電気学者ファラデーや電気の発明家エジソンだって、分数の計算ができなかったことは事実だ」と思っています。新しい時代を開くには、もっと創造的な教育が必要なのです。
・・・・・中略・・・・
教育の内容と方法を全面的に改革すれば、かつてなかったようなレベルに教育を高めていくことができるのです。

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「ロボットは東大に入学できるか」というプロジェクトを立ち上げ、研究を進めていた新井紀子さんは、学生に「どうして私たちの仕事を奪うかもしれない人工知能(AI)の研究をするのですか?」と問われたとき、こう答えたそうだ。

 「私が研究をやめても世界の企業や研究者はAIの研究をやめはしない。
そうならば、AIの可能性と限界をきちんと見極め、対策を取ろうではないか。
AIには弱点がある。それは彼らが「まるで意味がわかっていない」ということだ。

 数学の問題を解いても、雑談につきあってくれても、珍しい白血病を言い当てても、意味はわかっていない。逆に言えば、意味を理解しなくてもできる仕事は遠からずAIに奪われる。」

(2016年11月朝日新聞より ゴチックは私が強調のためにした)

「ぶんすうのがくしゅうをして、分数の計算がわかってうれしい、と喜びがわきあがってきた、そのことの意味」
「どうしてだろう?と胸がざわざわするような好奇心の意味」
そんな「わくわくとドキドキ」、分数の学習にもそういったものがあれば「分数嫌い」や「勉強嫌い」はなくなるかもしれない。
そこに人工知能にはない「人間としての意味」があるのかもしれない。
 「分数ものさし」からとんでもない範囲にひろがってしまった。ゆっくりと考えていこう。

最後の写真は5月1日に種まきをした「藍」。 10日もすると二葉がプランター一面に出てきた。こういったときは、6割ぐらいの発芽率というのかな? それともまいた種の三分の二の発芽率といったほうがいいのかな?
今年も藍染を目ざして藍を育てていこう。

 

 

ジャガイモの花

ジャガイモに花が咲いた(5月3日見つける)

駐車場のそばの畑にジャガイモが植えられている。
花が咲いているではないか。

 

これぐらいの広さの畑なのだが、上の写真に赤い丸で囲んだところのジャガイモに花がついているの

花にも種類があるようだ。

畑のオーナーさんの話にきいてみると、オーナーさんの経験ではジャガイモに花が咲くが、全部のジャガイモiではないこと、また実がなることもあるが、めったにないということだ。
じゃがいもの花と実? おもしろそうなのでもう少しきいてみると、ジャガイモの実は青い小さなトマトのようだと言っていた。
少し調べてみようと思った。

以前に「赤毛のアン」を訪ねるカナダツアーに行った時、ブログにじゃがいもについて調べたことを書いたが、もう少し本を探してみると、左の「ジャガイモの花と実」というその名もズバリの本があった。

表紙には「ジャガイモの実」と「種」の写真もあり、私の関心に応えてくれるピッタリの本だった。
この本の表紙にあるジャガイモ畑は北海道の美瑛だそうだ。一度いってみたいものだ。

ジャガイモの原産地は南アメリカ大陸で、2000年以上前からジャガイモを畑に植え、栽培し、食料にしていたと考えられている。
コロンブスのアメリカ大陸「発見」を機会に全世界に広まっていったわけだが、歴史的な経過については以前のブログ(カナダ赤毛のアンツアー33)に書いた。

ジャガイモの実は左の図のような形をしているらしい。
この「ジャガイモの花と実」の本の表紙にはそこカラー写真がのせられている。
ネットで調べてみると、「ジャガイモの実」で検索すると結構いろんなジャガイモの実の写真が発見できる。

疑問になってくるのは、そのジャガイモの実には種があるのだろうか。

花が咲き、実ができるのなら、その実には種ができているだろうか。
種ができている実があるに違いないとおもう。種ができるのなら、その種からジャガイモが育つのだろうか?

といった疑問がわいてくるのは当然だと思う。

ところで、現在の私たちがジャガイモを育てるときは、種イモをつかう。種をまくのではない。そして私たちが食べている部分は根ではない。茎である。「地下茎(ちかけい)」という言葉を習ったのは、小学生だっただろうか。中学生だっただろうか。
とにかくジャガイモは茎、サツマイモは根っこを食べていると習った。

種イモから育ったジャガイモはクローンだから、性質は同じだと予想できる。性質が同じだと、病気や害虫によって大打撃を受けることがあることは歴史が証明している。アイルランドでは多数の人が死に、アメリカ大陸などへの移民となった。ケネディ家も、ロナルド・レーガンもアイルランドからの移民の子孫だと言われている。

さて、ジャガイモの実から取れた種は、品種改良に利用されているそうだ。

1930年頃に、南アメリカに野生のジャガイモを見つける探検隊がだされたそうた。ロシア、アメリカ、スウェーデン、ドイツ、イギリスなどが探検隊を出し、ロシアの探検隊は150種類もの野生のジャガイモを発見したと伝えられている。

上の図のように種から育ったジャガイモは、親のジャガイモと遺伝形質が違っているため、多様なジャガイモになっている。
野生のジャガイモは、現在の栽培種のジャガイモと違い、花にはたくさんの花粉があるので、さまざまな性質を持ったジャガイモがとれたそうだ。
多様なジャガイモから、病気に強いもの、害虫に強いもの、味の良いもの、多量にイモが取れるもの・・・というように改良がなされていくわけだ。

日本には1595年頃に伝わったといわれている。豊臣秀吉が死んだ頃の時代だ。 オランダ商戦が持ってきたので「ジャガタラいも」「ジャガイモ」と呼ばれるようになったという。 飢饉の時の食料として広まったといわれている。 本格的に日本中に広まって栽培されるようになったのは、明治になってからで、アメリカ人などが持ってきた新しいじゃがいもの品種によって、ということだ。

花が咲いたあと、実がなるかどうか、気にかけて見ていくことにしよう。

 

 

 

 

 

分数の計算③

分数の計算の仕方についていろんな本が出でいる。
左の本は「ドラえもんの算数おもしろ攻略」。その中の分数の掛け算と割り算をあつかったもの。

結構丁寧な説明がしてあり、「分割分数」や「量分数」・「単位分数」・「商分数」などの説明がある。
この本の説明は主に数直線と比例関係を使って説明している。

たとえば「花咲かじいさん」の世界に行くために、「つづきスプレー」をまいてお話の続きを見ようとする場面がある。

会話で説明が続く。

しずか 数直線を見ると ❏ ✕ 1/4=2/5 という式もできるわ。この式だと ❏=2/5÷1/4 というわり算の式になるわね。

スネ夫 2/5÷1/4の式の意味は、2/5平方メートを1/4デシリットルでわることだよね。吹き付けられた面積を液体の量でわることできるの?

ドラ 式の意味は、1/4デシリットルで2/5平方メートルに吹き付けることができる。1デシリットルでは何平方メートルふきつけられますかということ。 液体1/4デシリットルで2/5平方メートル。これを言葉の式に当てはめると、
(1デシリットルで吹き付けられる面積)✕(液体の量)=(吹き付けられる面積)だから
(1デシリットルで吹き付けられる面積)=(吹き付けられる面積)÷(液体の量)となるので 2/5÷1/4 という式になるんだ。

左のドラえもんたちの会話を受けて

ジャイアン 分母も分子もわりきれる分数になおすんだな。

分母と分子に4をかけて
分子=2✕4
分母=5✕4÷4
(2✕4)/(5✕4÷4)=8/5

しずか 分数÷分数の計算は、わる分数の分母と分子の逆数をかければ?

スネ夫 (分子/分母)÷(分子/分母)=(分子/分母)✕(分母/分子)
ってことだね!

*引用した漫画のような意見のだしあいによって、
分数÷分数の計算は逆数を使えば簡単に計算できることが説明されている。

ドラえもんは次のように、これまでの考えてきたことを整理している。

 

「数は生きている』ではどのような説明をしているだろうか。

分数の割り算といえば「分母と分子をひっくり返してかけ算にすればよい」ということだけが記憶に残っている。なぜそうなるのか、という説明が本によっていろんな工夫をしていることがわかる。

この本では先生と二人の子どもの対話で説明されている。
まず「水3/5リットルという量はどうやってつくったらいい?」からはじまっている。
詳しい説明は省いて、結果を書けば、

一つは「1リットルの水を5等分してそのうち3つをとる」方法。
式で書けば 3/5リットル=1リットル÷5✕3

もう一つは「3リットルの水を5等分する」方法。式で書けば
3リットル÷5=3/5リットル
この式は1リットルを3倍してから5で割ったものと同じだから
3/5リットル=1リットル✕3÷5 となる。
分数には2つの意味があり、それらは✕と÷の入れ替えに対応している、ことをまずおさえている。

ここで次のような問題がだされる。「10リットルの水を一人に2/3リットルずつ分けたら、何人に分けられるか?」

三郎 ここに10リットル分のタイルを書きます。2/3リットルずつ分けるのですから、全部のタイルを3等分します。この1−タイルを3等分したうちの2つ分をとればそれぞれ2/3リットルです。これが全部で15個とれます。 10リットル÷2/3リットル=15 で、15人にわけられます。

先生 全部のタイルを3等分したら、そのタイルはいくつ分に分かれた?

三郎 10個のタイルを3等分したから、10✕3で30個です。この3は分母の3ですね。次にこの30個の中に2個ずつの組が、いくつできるかを求めるんだから、2で割ればよい。
   10÷2/3=10✕3÷2

先生 もう一息だ。さっきやったろう。分数の2つの意味を。

三郎 あっ、そうか。「3をかけて2で割る」のは「2で割って3をかける」のと同じだったから、
   10÷2/3=10✕3÷2=10÷2✕3=10✕3/2
で、「分数で割るときは、ひっくり返してかける」ことになります。あぁ、わかった。

明子 わたしも、学校では先生にいわれたとおりに計算していたけれど、計算の意味なんて考えてもみませんでした。わけも考えると数学もおもしろいんですね。

*こんなふうに対談の中で、計算の意味、式の変形などに気がつくように工夫をして、読者に考えさせようとしている。

分数の割り算を考える時に、「線分図」「数直線」「テープ図」「タイル」「水そう」「折り紙」「ペンキで壁ぬり」など、いろんな場面や教具を考え、工夫をしている。

そのなかで私の興味を引いたのが右の本。

分数の計算の説明に、水槽を使ったり、数直線を使ったり、あるいは線分図、折り紙といろいろと使って、「分数の割り算はひっくり返してかける」を説明しているが、それ以外にもありますよ、という内容の本。その方法はこれまでの説明にもチラッとでているのだが、全面に出して紹介しているのが興味深かった。

たとえば次のような問題を考える。

「2と2/3mのテープがあります。3/4mずつ切ると何本とれますか?」

この本の図の説明は私にはわかりにくかったので、自分がわかるテープ図を使って説明してみよう。

計算式は(2と2/3m)÷3/4m であることは図よりわかる。
帯分数を繁分数になおして、8/3÷3/4 として考える。
分母が3と4なので通分して32/12÷9/12として考えることができる。
図には1mを12等分し、32/12,9/12を線分上に記している。

32/12は、1/12が32個ある(12✕2+8)。
9/12は、1/12が9個ある。
ということはこの分数の計算は、32÷9の計算と同じだといえる。
32÷9=3と5/9

つまり、(2と2/3)÷3/4=8/3÷3/4=32/12÷9/12は
     (32÷9と同じなので)=3と5/9

これを逆数を使ってひっくり返して計算する方法を使ってみると、

8/3÷3/4=8/3✕4/3=(8✕4)/(3✕3)=32/9=(3と5/9)

同じ結果になる。
作者は「このように通分して計算する方法もある。この方法は余りの計算も楽である」という。

たとえば、上の問題で「何m余りますか?」と聞かれたらどう答える?

両方ともに答えは「3と5/9」。この時の単位は本で、「3本と5/9本」という意味であり、5/9mではないことに注意しよう。

逆数を使った計算では、3/4mの5/9という意味であるので、
3/4✕5/9=15/36=5/12 と計算し、余りは5/12mとなる。

通分を使った計算では、32÷9=3余り5 となることから、
5というのは1/12が5個あるということだから、余りは5/12mとなる。
通分した分母の数(ここでは12)がそのまま余りの分母に使える。

一番最初に紹介した「分数ものさし」の方法は、分数を通分して、単位となる分数の数を数えているのでこの方法に近いと思う。

これまでいろいろと分数に関わる本を読んで考えてきたが、
分数の割り算は「ひっくり返してかける」方法だけではない。問題によればかけ算のほうが早い場合もある。考え方も水槽や折り紙や数直線やテープ図やいろんな考え方を使うことができる。「分数ものさし」もその中の一つの方法だ。
 この方法だけ、というただ一つのやり方に固執することはない。
というのが私の結論のようだ。