分数の計算③

分数の計算の仕方についていろんな本が出でいる。
左の本は「ドラえもんの算数おもしろ攻略」。その中の分数の掛け算と割り算をあつかったもの。

結構丁寧な説明がしてあり、「分割分数」や「量分数」・「単位分数」・「商分数」などの説明がある。
この本の説明は主に数直線と比例関係を使って説明している。

たとえば「花咲かじいさん」の世界に行くために、「つづきスプレー」をまいてお話の続きを見ようとする場面がある。

会話で説明が続く。

しずか 数直線を見ると ❏ ✕ 1/4=2/5 という式もできるわ。この式だと ❏=2/5÷1/4 というわり算の式になるわね。

スネ夫 2/5÷1/4の式の意味は、2/5平方メートを1/4デシリットルでわることだよね。吹き付けられた面積を液体の量でわることできるの?

ドラ 式の意味は、1/4デシリットルで2/5平方メートルに吹き付けることができる。1デシリットルでは何平方メートルふきつけられますかということ。 液体1/4デシリットルで2/5平方メートル。これを言葉の式に当てはめると、
(1デシリットルで吹き付けられる面積)✕(液体の量)=(吹き付けられる面積)だから
(1デシリットルで吹き付けられる面積)=(吹き付けられる面積)÷(液体の量)となるので 2/5÷1/4 という式になるんだ。

左のドラえもんたちの会話を受けて

ジャイアン 分母も分子もわりきれる分数になおすんだな。

分母と分子に4をかけて
分子=2✕4
分母=5✕4÷4
(2✕4)/(5✕4÷4)=8/5

しずか 分数÷分数の計算は、わる分数の分母と分子の逆数をかければ?

スネ夫 (分子/分母)÷(分子/分母)=(分子/分母)✕(分母/分子)
ってことだね!

*引用した漫画のような意見のだしあいによって、
分数÷分数の計算は逆数を使えば簡単に計算できることが説明されている。

ドラえもんは次のように、これまでの考えてきたことを整理している。

 

「数は生きている』ではどのような説明をしているだろうか。

分数の割り算といえば「分母と分子をひっくり返してかけ算にすればよい」ということだけが記憶に残っている。なぜそうなるのか、という説明が本によっていろんな工夫をしていることがわかる。

この本では先生と二人の子どもの対話で説明されている。
まず「水3/5リットルという量はどうやってつくったらいい?」からはじまっている。
詳しい説明は省いて、結果を書けば、

一つは「1リットルの水を5等分してそのうち3つをとる」方法。
式で書けば 3/5リットル=1リットル÷5✕3

もう一つは「3リットルの水を5等分する」方法。式で書けば
3リットル÷5=3/5リットル
この式は1リットルを3倍してから5で割ったものと同じだから
3/5リットル=1リットル✕3÷5 となる。
分数には2つの意味があり、それらは✕と÷の入れ替えに対応している、ことをまずおさえている。

ここで次のような問題がだされる。「10リットルの水を一人に2/3リットルずつ分けたら、何人に分けられるか?」

三郎 ここに10リットル分のタイルを書きます。2/3リットルずつ分けるのですから、全部のタイルを3等分します。この1−タイルを3等分したうちの2つ分をとればそれぞれ2/3リットルです。これが全部で15個とれます。 10リットル÷2/3リットル=15 で、15人にわけられます。

先生 全部のタイルを3等分したら、そのタイルはいくつ分に分かれた?

三郎 10個のタイルを3等分したから、10✕3で30個です。この3は分母の3ですね。次にこの30個の中に2個ずつの組が、いくつできるかを求めるんだから、2で割ればよい。
   10÷2/3=10✕3÷2

先生 もう一息だ。さっきやったろう。分数の2つの意味を。

三郎 あっ、そうか。「3をかけて2で割る」のは「2で割って3をかける」のと同じだったから、
   10÷2/3=10✕3÷2=10÷2✕3=10✕3/2
で、「分数で割るときは、ひっくり返してかける」ことになります。あぁ、わかった。

明子 わたしも、学校では先生にいわれたとおりに計算していたけれど、計算の意味なんて考えてもみませんでした。わけも考えると数学もおもしろいんですね。

*こんなふうに対談の中で、計算の意味、式の変形などに気がつくように工夫をして、読者に考えさせようとしている。

分数の割り算を考える時に、「線分図」「数直線」「テープ図」「タイル」「水そう」「折り紙」「ペンキで壁ぬり」など、いろんな場面や教具を考え、工夫をしている。

そのなかで私の興味を引いたのが右の本。

分数の計算の説明に、水槽を使ったり、数直線を使ったり、あるいは線分図、折り紙といろいろと使って、「分数の割り算はひっくり返してかける」を説明しているが、それ以外にもありますよ、という内容の本。その方法はこれまでの説明にもチラッとでているのだが、全面に出して紹介しているのが興味深かった。

たとえば次のような問題を考える。

「2と2/3mのテープがあります。3/4mずつ切ると何本とれますか?」

この本の図の説明は私にはわかりにくかったので、自分がわかるテープ図を使って説明してみよう。

計算式は(2と2/3m)÷3/4m であることは図よりわかる。
帯分数を繁分数になおして、8/3÷3/4 として考える。
分母が3と4なので通分して32/12÷9/12として考えることができる。
図には1mを12等分し、32/12,9/12を線分上に記している。

32/12は、1/12が32個ある(12✕2+8)。
9/12は、1/12が9個ある。
ということはこの分数の計算は、32÷9の計算と同じだといえる。
32÷9=3と5/9

つまり、(2と2/3)÷3/4=8/3÷3/4=32/12÷9/12は
     (32÷9と同じなので)=3と5/9

これを逆数を使ってひっくり返して計算する方法を使ってみると、

8/3÷3/4=8/3✕4/3=(8✕4)/(3✕3)=32/9=(3と5/9)

同じ結果になる。
作者は「このように通分して計算する方法もある。この方法は余りの計算も楽である」という。

たとえば、上の問題で「何m余りますか?」と聞かれたらどう答える?

両方ともに答えは「3と5/9」。この時の単位は本で、「3本と5/9本」という意味であり、5/9mではないことに注意しよう。

逆数を使った計算では、3/4mの5/9という意味であるので、
3/4✕5/9=15/36=5/12 と計算し、余りは5/12mとなる。

通分を使った計算では、32÷9=3余り5 となることから、
5というのは1/12が5個あるということだから、余りは5/12mとなる。
通分した分母の数(ここでは12)がそのまま余りの分母に使える。

一番最初に紹介した「分数ものさし」の方法は、分数を通分して、単位となる分数の数を数えているのでこの方法に近いと思う。

これまでいろいろと分数に関わる本を読んで考えてきたが、
分数の割り算は「ひっくり返してかける」方法だけではない。問題によればかけ算のほうが早い場合もある。考え方も水槽や折り紙や数直線やテープ図やいろんな考え方を使うことができる。「分数ものさし」もその中の一つの方法だ。
 この方法だけ、というただ一つのやり方に固執することはない。
というのが私の結論のようだ。

 

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