ケプラーの第3法則

ケプラー1

「はやぶさ2」の打ち上げが迫ってきた。太陽系探査にとって必要なのはニュートンの発見した万有引力の法則。
そしてその前段階を作ったのがヨハネス・ケプラー(Johannes Kepler、1571年12月27日 – 1630年11月15日)。
ドイツの天文学者。(写真はウィキペディアより)
ケプラーは義務教育で習うケプラーの法則でよく知られている。
ケプラーの法則というのは、

1.惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く。

2.太陽から一つの惑星へ引いた動径は、等しい時間に等しい面積を描く。すなわち「面積速度」が一定である。

3.公転周期の2乗は、軌道の長半径の3乗に比例する。

法則の1と2はなんとなく受け入れやすい。でも三つ目の法則は2乗のものが3乗のものに比例するというのはなんとなくすっきりしなかったのが私の学生時代の印象。

 ケブラーはティコ・ブラーエの詳細な観測結果を受け継ぎ、そのデーターを元に法則を発見したと言われている。

どんなデーターを元にしたのだろう。
イメージをつかむために理科年表を見た。

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桁数の大きな数字が並んでいる。少しわかりにくいので見やすく作りなおしてみた。

IMG_20141118_0001

 この数字を見て、
軌道長半径の3乗と軌道半径の2乗が比例しているなんて、私には思いもつかないし、本当に比例しているのかな、とおもってしまう。 

ケプラーがどのような経過と思考過程を経てこの三つの法則にたどりついたのかは、今の私には知識がない。
現在の天文学では、ニュートンの万有引力の法則にもとづいて計算式が導かれて、証明できることなのだろう。
私はもう少し、わかりやすい説明の仕方がないものかと思った。
本を見ている中で「対数グラフ」を使って説明しているのがあった。これはいい方法だと思う。

対数グラフには一つの軸を対数表示した「片対数グラフ」と両方の軸が対数になっている「両対数グラフ」がある。
下の図の左が「両対数グラフ』で右が「片対数グラフ」。

両対数グラフ 片対数グラフ

 

まず片対数グラフを使う例の説明でよく出てくるのが曽呂利新左衛門。
あるとき、曽呂利新左衛門が太閤秀吉から褒美をもらえることになった。

「なんでも好きなものを言っていいぞ」
「たいそうなものは入りません。米粒一粒で結構です」
「何? たった一粒でよいのか」
「いえ、二日目は二倍の二粒。さらに翌日はその倍の4粒、その次の日はその二倍の8粒、と1ヶ月続けていただければいいです」
「よし、あい分かった。簡単な願いじゃのう」

ところがこの願いは最後までいきつかず、途中で秀吉が音を上げたというお話。
はて、30日目が何粒になったのか計算したのが次の表。

IMG_20141118_0006

この表を片対数グラフにかくと見事な直線になる。 IMG_20141118_0005

このように、指数関数は片対数グラフでは直線になる。 逆に言えば、片対数グラフ上で直線になるグラフは指数関数であるとも言える。

次に両対数グラフに前に上げた「軌道長半径」と「公転周期」の値を記入してみよう。
IMG_20141118_0003

 これも見事に直線上にそれぞれの値がのってくる。 べき関数になることが予想される。 実際に公転周期の2乗、軌道長半径の3乗を計算してグラフに描いてみると、

IMG_20141118_0004

原点を通る直線となり、公転周期の2乗が長半径の3乗に比例していることがわかる。

対数グラフに描くことにより、ケプラーの第3法則がイメージとしてやっと腑に落ちた。

グラフに描くことにより、理解しやすくなる、イメージしやすくなるという例の一つである。

 

 

 

 

ケプラーの第3法則” への4件のコメント

  1. ケプラーの法則ですか?忘却の彼方にいっていました。でも、碧空の空さんが書かれているように、グラフに表すとよく理解できるということは分かります。中学や高校の時に関数の値を求める時にグラフにするとよく分かりました。関数もグラフに表せる間はいいのですが、表せない関数になると急に難しくなりました。

    • 風見鶏さんへ
      昔習ったことを勉強しなおしてみると、もっとわかりやすい方法があったんだなあ、と気づくことがあります。それがおもしろいですね。
      ところで「はやぶさ2」の打ち上げが延期ですね。今私の最大関心事です。

      そうそう、紅葉の写真を撮りに行こうと思っているのですが、写真撮影のポイントはなんなんでしょう。風見鶏さんのような紅葉の写真を撮りたいと思っています。

      •  紅葉の写真を撮るポイントは何と言っても透過光で撮ることです。光が葉に当たっている時もきれいですが、よりきれいに写るのは葉の向こうから光が射している時に写す方がきれいです。この取り方ですと葉が終わりかけでもきれいに見えます。太陽が上にある日中は条件はよくありません。当方はAvモードでF8前後で撮っています。一度試して見て下さい。

        • 風見鶏さんへ
          ありがとうございます!
          透過光ですね。試してみます。
          でもどうして絞りがこれくらいで、などと考えられるのでしょう。
          そこがどうしても私にはできません。
          まだまだ奥が深いですね。

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